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4 8拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 由第一节我们知道 拉普拉斯变换是傅里叶变换由实频率 至复频率s j 上的推广 傅里叶变换是拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例 许多信号 将其傅里叶变换式中的j 换成s就是它的拉普拉斯变换 反之亦然 例如 单边指数衰减信号 然而 并非所有信号的傅里叶变换与它的拉普拉斯变换都有这种规律 例如 单位阶跃信号 一 拉普拉斯变换收敛域包含虚轴 此时 信号的拉普拉斯变换的极点在s平面上虚轴的左半平面 例如 上述的单边指数衰减的信号 其极点位于负实轴上 此时 信号的拉普拉斯变换的收敛域包含了j 轴 负实轴上的重极点的例子 负实部的共轭复数极点的例子 二 拉普拉斯变换收敛域不包含虚轴 此时 信号的拉普拉斯变换的极点在s平面上虚轴的右半平面 例如 单边指数增长的信号 其极点位于正实轴上 其拉氏变换 此时 由于信号是指数增长的 不满足绝对可积的条件 其傅里叶变换不存在 从s域看 信号的拉普拉斯变换的收敛域不包含虚轴 不能由其拉氏变换将s代以j 求得其傅里叶变换 三 拉普拉斯变换的极点位于虚轴上 例如 单位阶跃信号u t 显然 当信号的拉普拉斯变换的极点是位于s平面虚轴上的极点 不能简单地将j 代替s已得到它的傅里叶变换 设信号x t 的拉普拉斯变换为X s 它有虚轴上的单极点 j i 此时 信号的傅里叶变换包含两部分 一部分是将信号的拉氏变换X s 中的s代以j 的到的 另一部分是对应于虚轴上单极点的冲激信号 设信号x t 的拉普拉斯变换为X s 它有虚轴上的k重极点 j i 可以证明 此是对应的傅里叶变换为 注意 本章所讲的拉氏变换 除了定义与收敛域一节之外 均是指单边拉氏变换 单边拉氏变换在系统分析时 我们均设定系统是因果的 单边拉氏变换在系统的瞬态分析 系统函数及其s域分析应用十分普遍 但是系统函数反映的是系统零状态端特性 不反映系统内部全部特性 另外 在很多情况之下 系统函数不易确定 于是此分析方法也就失效 例如 已知一线性时不变系统 当输入x t u t 时 其零状态响应 设此时有零输入响应 试求 1 系统函数 2 系统的输入输出方程 3 画出系统的一个模拟框图 解 1 由系统函数的定义 2 系统的输入输出方程 由零输入响应可知 系统还有一个特征根 1 系
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