素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0008.doc

2000年第 8期数学通报 数学问题解答 2000年 7月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 1261 0是单位圆 ,正方形 ABCD的一边 AB是 0的弦 .试确定 OD的最大值与最小值 .黄全福 (安徽怀宁江镇中学 )图 1解(1)见图 1 ,作 OM AB于 M,记 OAM 易知 AB =2AM . AD = AB =2AM = 2cos.于是 OD2= OA2+ AD2-OAADcos(90+) =12 + (2cos)2-21(2cos) cos(90+) = 1 + 4cos2+4coscos (90-) = 1 + 4cos2+4sincos = 1 + 4cos2+2sin2 cos2= 2cos2-1 4cos2=2(cos2+1)代入上式 : OD2 =1+2(cos2+1) +2sin2 =2(sin2+ cos2) +3. =,sin2 + cos2 =2 ( sin2cos45+ sin45 cos2) =2sin (2+ 45) OD2 2 2+3= ( 2+1) 2 OD 2+1.此时易得 = 2230. (2)见图 2 ,作 OM CD、ON AD ,M、N都是垂足 .记 OAN = , AD = CD =2 DM =2 ON = 2sin. OD2= AD2+ OA2-2ADOAcos = 4sin2+1-2(2sin) cos =4-4cos 2+1-2sin2 =5-2(cos2+1) -2sin2 =3-2( sin2+ cos2) =3-22sin (2+ 45) 图 2 OD 2-1 ,此时易得 = 2230.综合二者 , OD最大值为 2 +1 , OD的最小值为 2-1. 1262 ABC中 ,角 A,B,C的对边分别为 a, b, c,若 A + C =2 B,试求最大的自然数 n,使 an + cn 2 bn对任何一个这样的三角形都成立 .杨晓晖 (湖南湘潭电机厂中学 411101)解只须注意到 ,当 n 5时 ,在 ABC中 ,取 A = ,B = ,C = ,但632 nnna + c c 而 2 bn =2 (csin 3 )n n( ) 5=2 cn ( )n 2 c22 n 9 n = c c.16 n 5.下面证明 nmax =4 ,即在 ABC中 ,若 A + C =2 B,则 a 4+ c 4 2 b4 .由 A + B + C =,A + C =2 B B = 3 22b2 = a + c 又 a 4+ c 4= (a 2 = (a 2 = b2 =-ac =-( ac -b2) 2+2 b4 -2 accosB = a 2+ c 2-ac ac2) 2 22+ c -2 ac 22+ c 2+ 2 ac) ( a + c -2 ac) + ( 2+1) acb2-( 2-1) ac 2 2+2 acb2+ b4 2000年第 8期数学通报48 a + c 4 2 b4当且仅当 a = c, ac = b2即 ABC为正三角形时等号成立 .综上 ,所求最大的自然数 n =4. (注 :实际上 ,对 n =1 ,2 ,3 , a + c 2 b 2 a + c 2 2 b2 1264设 N是全体正整数的集合 ,试求出所有的a 3+ c 3 2 b3函数 f :N N,使得对每一个 n N,都有 三式均成立 .) = 1263已知 A、B、C,A、B、 分别为 ABC和 (广州师院数学系吴伟朝提供 )解显然 f是单射 (若 n1 n2 ,则 f(n1) f sin C) ABC的内角 ,求证 : cos(A 3cos( 3 党庆寿 (江苏江都市大桥高中 225211)证明注意到 ,若 -+ k +1 ,则由题给条件得 (k +1) 2 (k +1) 2 f(f(k +1) = f(k +1) k +1 = k +1 ,再利用得 :f ( k +1) k,但这又与 矛盾 !故必有 f(k +1) = k +1.由数学归纳法原理知 :f ( n) = n( n N) ,本题只有这个函数解 :(检验是显然的 ). 1265P为素数 n N,求证 : 0( modp) , n qp -1 ,q N; Cpn -1 1( modp) , n = qp -1 ,q N.徐道(江苏如皋市教师进修学校 )解p =2时 ,易知结论成立 .下面证 p为大于 2的素数时结论也正确 . 1n qp -1 n( n -1)( n -2) (n -p +2)的 (p -1)个因式的乘式中必有一个是 p的整数倍 ,则可设 n( n -1) (n -2) (n -p +2) = spA (其中 A是其它 (p 2)个因式之积 ,S为整数 ) Cpn -1 Z (p -1)! | S PA又 p为素数故 ( p, i) =1 ,i =1 ,2 , ,p -1. (p, (p -1) !) =1 (p -1)! | SAS PA 所以 p| (p -1)!因而 Cpn -1 0 ( modp) 2n = qp -1 n( n -1)( n -2) (n -p +2) = ( qp -1) ( qp -2) qp -(p -1) = f ( qp) + (p -1)! (其中 f ( qp)是各项均含 显然 (p -1) ! Z使得对所有 x,y R都有 f(x + f ( y) = a( x + y) 即(p -1)! | pf( q)又 (p, (p -1) !) =1(广州师范学院数学系吴伟朝 5104025) (p -1)! | f1269 ABC中 , ma, mb, mc, ha, hb, hc,分别为 BC, CA,AB边的中线和高线 ,求证 : 有因子 qp的多项式 )于是 Cpn -1 = f ( qp() p +-( 1p) -! 1)! = pf( q) +1 (f( q)是 f ( qp)除(p -1)! 以 p的商式 )pf( q) 2000年 8月号问题 (解答由问题提供人给出 ) 1266 ABC中 , ABC = 70, ACB = 10,D为 BC上一点 , DAC = 20BA BD 求证 :DA = CD (黑龙江绥化地区教育学院田永海供 152054) 1267试确定实数 a0的取值范围 ,使得由递推式 an +1 = -3 an +2 n( n =0 ,1 ,2 , )决定的数列 an为严格递增数列 . (上海市东华模范中学钱雪华 200040) 1268给定两个实数 a,b试求所有函数 f R Rhb + hc hc + ha ha + hb + 6 mamb mc (山东广铙一中侯良田 257300) 1270设 、为锐角 , cos 2+ cos2+ cos2 = 1 ,试证 : 3 ctgctg+ ctgctg+ ctgctg2 (浙江湖州市双林中学李建潮 313012) (上接 22页)上述处理 ,实实在在地保证了三角函数主要内容的学习时间 .一方面 ,让教师能集中精力思考试验本的教学过程 ,把教学的重点放在发展学生自主“性、积极性、创造性、能动性的追求上” ,另一方面 ,又让学生腾出时间 “认真阅读课文 ,及时进行和总结 ,把所学知识系统化” . 2“三角函数”章的教学当我们理顺教学内容和教学要求后 ,在实际教学过程中 ,要遵循新大纲 ,根据试验本实施教学.试验本三角函数的教学内容内涵丰富 ,它在结构上有别于旧课本 ,更具有科学性和系统性 .教材上各类练习、习题、复习参考题的配备 ,适合了不同层次学生的要求 .教材上的例题与定理的讲解 ,更便于教学 .因此 ,在教学时 ,要尽可能教好规定的教学内容 ,并达到教学目标 .一般说来 ,不要扩充教科书以外的内容 ,以免造成学习上的困难 ,如本章 4116节 ,对于两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导体系及余弦的和角公式的证明 ,只要求了解 ,不要求记忆 .其次 ,试验本的施教 ,应注意“学为主体、教为主导、练为主线” .训练中 ,试验本上的练习和习题大都是按正文和例题配备的 ,要求学生模仿教科书上的解题格式去完成 .对于稍难的问题 ,可作些必要的提示 ,以免找不到正确、迅捷的方法 .在讲练中让学生达到了解、理解、掌握、灵活运用等四个层次的教学目标 ,使面向全体学生得到落实 .再次 ,在教学中 ,应掌握对于三角变换的要求.大量的三角函数问题的演绎和变换 ,纵横交错 ,灵活多变 ,使不少学生深感变幻莫测 ,难以把握.由于和差化积、积化和差公式已被近几年的各种训练与考试炒得远远超过其本身价值 ,因此在变换中 ,受这种炒作的影响 ,会不自觉地拨高对于三角变换的要求 .实际上 ,三角公式多 ,但基本公式却是体系清楚 ,主干和分枝明显 .这些公式的基础是两角和的余弦函数 .课本