生活中的趣味数学.doc

一、生活中的趣味数学数学经常会让聪明人感觉自己笨得不行，有时甚至会让他们很生气。如果你觉得数学非常枯燥难懂，可能是你不幸碰上了一个死板的老师（但愿我的学生不这样说我）。事实上，数学本身非常有趣，它是我们日常生活的一部分，每个人都能从中获得享受。 下面我来说几个生活中的有关数学的趣味问题：缪勒-莱耶错觉 看看下面的带箭头的两条直线，猜猜看哪条更长? 是上面那条吗? 错了!其实它们一样长. 这就是有名的缪勒-莱耶错觉,也叫箭形错觉。它是指两条长度相等的直线,如果一条直线的两端加上向外的两条斜线,另一条直线的两端加上向内的两条斜线,则前者会显得比后者长得多。现在明白了吗?你身上的计算器 们的手也能成为一个可以进行简单计算的计算器。这里有一个小窍门：计算9的倍数时，如图1 所示，从左到右给你的手指编号。现在选择你想计算的9的倍数，假设这个乘式是79。只要像图2所示那样，弯曲标有数字7的手指。然后数弯曲的那根手指左边剩下的手指数是6，它右边剩下的手指根数是3，将它们放在一起，得出79的答案是63。 图1 图2 从左到右给你的手指编号弯曲标有数字7的手指计算79请看数学在文学上的表现回环诗图 图1是宋代诗人秦观写的一首回环诗。全诗共14个字，写在图中的外层圆圈上。读出来共有4句，每句7个字，写在图中内层的方块里。 这首回环诗，要把圆圈上的字按顺时针方向连读，每句由7个相邻的字组成。第一句从圆圈下部偏左的“赏”字开始读；然后沿着圆圈顺时针方向跳过两个字，从“去”开始读第二句；再往下跳过三个字，从“酒”开始读第三句；再往下跳过两个字，从“醒”开始读第四句。四句连读，就是一首好诗： 赏花归去马如飞， 去马如飞酒力微。 酒力微醒时已暮， 醒时已暮赏花归。 这四句读下来，头脑里就像放电视一样，闪现出姹紫嫣红的花，蹄声笃笃的马，颠颠巍巍的人，暮色苍茫的天。如果继续顺时针方向往下跳过三个字，就回到“赏”字，又可将诗重新欣赏一遍了。生活中的圆圈，在数学上叫做圆周。一个圆周的长度是有限的，但是沿着圆周却能一圈又一圈地继续走下去，周而复始，永无止境。回环诗把诗句排列在圆周上，前句的后半，兼作后句的前半，用数学的趣味增强文学的趣味，用数学美衬托文学美。 你觉得有意思吗？生活是丰富多彩的，细心观察，我们就会发现生活中有许多有趣的数学问题。今天在这里，仅举3例，如果你也对数学感兴趣了，那么就请听下回分解吧。 记住：生活中处处存在数学，需要我们去观察。你的双手有魔力 我们的双手能够成为一个简单的计算器，您相信吗？“相信，10以内加减法没问题”也许您会这样回答，但是魔力的手指还能够完成乘法的计算您相信吗？答案就在您的手中，按着我的方法试一试吧！让您双手的魔力在瞬间展现出来。 将我们的双手十根手指从左到右来数，在我们计算9的倍数时，假设你要计算的是9*3是只要将左手的中指弯曲，魔力展现，现在再来数一数，在左手弯曲中指的左边剩余2根手指，代表十位上的数字，在它右面剩余的是7跟手指，代表个位，组合后的答案是二十七。三九二十七正好是我们口诀。其余9的倍数也可以使用这样的方法进行计算。赶紧动手展现魔法吧！ 学生只有在真正的融入课堂教学中，才能最大程度使教师的教学设计达到即定的目标，但是怎样让孩子们从天马行空的思维中关注教师的教学活动呢？“动手操作”，读万卷书，也要行万里路，动手实践的过程正是知识强化的过程。2、生活中的趣味数学-奇闻怪事2014年第1期数学经常会让聪明人感觉自己笨得不行,事实上,数学非常有趣,它是我们日常生活的一部分,每个人都能从中获得享受。 同一天过生日的概率假设你在参加一个由50人组成的婚礼,有人问:“我想知道,在这里,两个人同一天生日的概率是多少?”也许大部分人都认为这个概率非常小,他们可能会设法进行计算,猜想这个概率可能是1/7。然而正确答案是:大约只有两名同一天生日的客人参加这个婚礼。 如果这群人的生日均匀地分布在一年的任何时候,两个人拥有相同生日的概率是97%。换句话说,你必须参加30场这种规模的聚会,才能发现一场没有宾客出生日期相同的。 两个特定的人拥有相同出生时间的概率是1/365。回答这个问题的关键是该群体的大小。随着人数增加,两个人拥有相同生日的概率会提高。在10人一组的团队中,两个人拥有相同生日的概率大约是12%。在50人的聚会中,这个概率大约是97%。然而,只有人数升至366人(其中有一人可能在2月29日出生)时,你才能确定这个群体中一定有两个人的生日是同一天。 拿多少只袜子才能配成一对关于拿多少只袜子能配成对的问题,答案并非两只。我敢担保在冬季黑蒙蒙的早上,如果我从装着黑色和蓝色袜子的抽屉里拿出两只,它们可能无法配成一对。但是如果我从抽屉里拿出3只袜子,我敢说肯定会有一双颜色是一样的。不管成对的那双袜子是黑色还是蓝色,最终都会有一双颜色一样。当然只有当袜子是两种颜色时,这种情况才成立。如果抽屉里有3种颜色的袜子,例如蓝色、黑色和白色,你要想拿出一双颜色一样的,则至少要取出4只袜子。如果抽屉里有10种不同颜色的袜子,你就必须拿出11只。根据上述情况总结出来的数学规则是:如果你有N种类型的袜子,你必须取出N+1只,才能确保有一双完全一样。 燃绳计时一根绳子,从一端开始燃烧,烧完需要1小时。现在你需要在不看表的情况下,仅借助这根绳子和一盒火柴测量出半小时的时间。你可能认为这很容易,只要在绳子中间做个标记,然后测量出这根绳子燃烧完一半所用的时间就行了。然而,这根绳子并不均匀,因此这根绳子不同地方的燃烧率不同。也许其中一半绳子燃烧完仅需5分钟,而另一半燃烧完却需要55分钟。有些地方比较粗,有些地方却很细,面对这种情况,似乎想利用绳子准确测出30分钟时间根本不可能,但是事实并非如此,大家可以利用一种创新方法解决上述问题,这种方法是同时从绳子两头点火。绳子燃烧完所用的时间一定是30分钟。 火车相向而行问题两列火车沿相同轨道相向而行,每列火车的时速都是50英里。两车相距100英里时,一只苍蝇以每小时60英里的速度从火车A开始向火车B方向飞行。它与火车B相遇后,马上掉头向火车A飞行,如此反复,直到两列火车相撞在一起,把这只苍蝇压得粉碎。苍蝇在被压碎前一共飞行了多远?我们知道两车相距100英里,每列火车的时速都是50英里。这说明每列车行驶50英里,即一小时后两车相撞。在火车出发到相撞的这一小时,苍蝇一直以每小时60英里的速度飞行,因此在两车相撞时,苍蝇飞行了60英里。不管苍蝇是沿直线飞行,还是沿“Z”形线路飞行,或在空中翻滚飞行,其结果都一样。 掷硬币并非最公平抛硬币是做决定时普遍使用的一种方法。人们认为这种方法对当事人双方都很公平。因为他们认为钱币落下后正面朝上和反面朝上的概率都一样,都是50%。但是有趣的是,这种非常受欢迎的想法并不正确。 首先,虽然硬币落地时立在地上的可能性非常小,但是这种可能性是存在的。其次,即使我们排除了这种很小的可能性,测试结果也显示,如果你按常规方法抛硬币,即用大拇指轻弹,开始抛时硬币朝上的一面在落地时仍朝上的可能性大约是51%。 之所以会发生上述情况,是因为在用大拇指轻弹时,有些时候钱币不会发生翻转,它只会像一个颤抖的飞碟那样上升,然后下降。如果下次你要选择,你应该先看一看哪面朝上,这样你猜对的概率要高一些。但是如果那个人是握起钱币,又把拳头调了一个个儿,那么,你就应该选择与开始时相反的一面。 3、几个关于数学的脑筋急转弯1：一个数，去掉末位是40，去掉首位是13，求这个数。 2：几根火柴摆成了“XI+I=X”的样子（罗马数字11+1=10），问至少移动几根火柴，才能使等式成立？ 3：现有一个不成立的等式“62-60=4”，请移动其中一个数字，使得等式成立。 4：请用9根火柴（不许损坏火柴）摆出3个正方形和2个正三角形。 5：请用2根火柴（不许损坏火柴）摆出8个三角形。四、一题多解高考题的精美，在于多途径注重基础知识和基本技能的运用，解法多样化，使不同思维的学生都有得分的机会，让基础扎实的学生对考试更有信心，努力开发学生的思维能力。只要学生平时扎扎实实的学好课本基本的解题方法，在高考应试中就一定不会吃亏。 高考真题（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD()证明：()若，求二面角的余弦值。解法一(I)因为，AB=2AD，由余弦定理得，从而，故BDAD又，所以 BD平面PAD PABD（II）因为BCAD，ADBD，所以BCBD又 ， 平面PDB平面平面PDB，二面角C-PB-D是直二面角，大小为过A作AEPB于E，连DE由（I）得证明过程易知AD平面PDB，所以ADPB，所以PB平面ADE，所以PBDE，所以AED是二面角A-PB-D的平面角。令AD=1，在中，可求得设二面角A-PB-C的平面角为，则所以二面角A-PB-C的余弦值为.解法二（I）同解法一证BDAD. 又PA在平面ABC内的射影为AD，（II）同解法一证二面角C-PB-D是直二面角，大小为。由（I）证明过程易知AD平面PDB，所以在平面PBD上的投影是。设AD=1，则PD=1，BD=，PA=，PB=AB=2，求得设二面角A-PB-D的平面角为，则，设二面角A-PB-C的平面角为，则所以二面角A-PB-C的余弦值为.解法三（I）取AB的中点E则AD=AE，又DAB=600，所以ADE为等边三角形，DE=AE=EB，即BDAD，又，所以 BD平面PAD PABDE（II）设AD=1由题知AB=2，PD=1，DB=，PB=2，PA=，BC=1，BC平面PDB，则点C到PB的距离，设点C到平面PAB的距离为，DC平面PAB，点C到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离由得从而，由得，设二面角A-PB-C的平面角为，则 解法四（I）PD平面ABC，又（II）同解法一证二面角C-PB-D是直二面角，大小为由(I)得证明过程知DA、DB、DP两两垂直，以D为原点，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系D-xyz，设AD=1，则显然是平面PDB的一个法向量设平面PAB的一个法向量为，则即取y=1，得，则，则即二面角A-PB-D的平面角的正弦值为，设二面角A-PB-C的平面角为，则，所以二面角A-PB-C的余弦值为.解法五（I）同解法一证BDAD. （II） 所以DA、DB、DP两两垂直以D为原点，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系D-xyz设AD=1，则设平面PAB的一个法向量为，则即取y=1，得设平面的一个法向量为，则即取y=1，得由于二面角A-PB-C是钝二面角，所以二面角A-PB-C的余弦值为.解法六 同解法五建立如图所示空间直角坐标系D-xyz（I）求得所以PABD（II）（同解法五）解法七(I)同解法六 (II)易知，故，从而过A作AEPB交PB于E,设则由及得所以又，即二面角A-PB-C的余弦值为.解法八(I)同解法六 (II)过D作DEPB于E，由平面PDB知，