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参数估计练习题1. 指出下列分布中的参数,并写出它的参数空间: (i)二点分布; (ii) 普哇松分布;(iii)在上的均匀分布; (iv) 正态分布.解:P；（iv）2. 设是来自二点分布的一个子样,试求成功概率的矩法估计量.解: 3. 已知母体均匀分布于之间,试求的矩法估计量. 解: ，。令得 ，4. 对容量为的子样,求密度函数 中参数的矩法估计量. 解: 令 得.5. 在密度函数 中参数的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) 令，得 。由于 故是极大似然估计.(2) 由 令 得 6. 用极大似然法估计几何分布 中的未知参数. 解:，令 得而 是P的极大似然估计.7. 设随机变量的密度函数为，是的容量为的子样,试求的极大似然值.解: ，。得，又 故8. 设是取自均匀分布的母体的一个子样,其中试证:的极大似然估计量不止一个,例如都是的极大似然估计量.解: 证:的密度函数为 ，故 即凡满足的均为的极大似然估计.从而(1)满足此条件，故是的极大似然估计.(2)由于故，所以也是的极大似然估计.(3)由于， 故，从而，故也是的LM.9.设是取自对数正态分布母体的一个子样,即 ， 试求:的期望值和方差D的极大似然估计.解:的密度函数为，所以，两边对数并分别对和求寻,并令其为0,得似然方程组，解得经验知和的LM为: ，又，从而 10. 一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为的子样;其中有个白球,求罐子里黑球数和白球数之比的极大似然估计量. 解:设罐子里有白球个,则有黑球个,从而共有个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为:，黑球的概率为从而抽球为二点分布似然方程为。从而解得. 可验证这是R的极大似然估计.11.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下:大肠杆菌个数/升0 1 2 3 4 5 6升 数 17 20 10 2 1 0 0试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大.解:由，设一升水中大肠杆菌个数=，又.故问题为求的极大似然估计.由，可得.由观测值代入求设.故每升水中大肠杆菌的个数平均为1时,出现上述情况的概率最大.12设,是取自二维正态母体的一个子样,求和的极大似然估计.解:由L可得似然方程为将(1),(2)代入(3)得: (4)由(4)代入(1),(2)得似然估计: .13 从四个正态母体(它们都有同样的方差)中,各抽一个容量为的子样,第个子样的观测值为若四个母体的平均数分别为试求和的极大似然估计.解:两边取对数后对分别求导,令其均为0， 即得，。对求导代入得.14. 考虑某种离散分布 ，其中对某些可能有有连续导数,设是取自具有这种分布的母体的一个子样.证明的极大似然估计是方程 的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同.试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分布.解: (1)证对求导得又由知从而所以似然方程可写为这与矩法方程一致.(2) 对其中 从而， 故似然方程的显式为.对二项分布: 又故似然方程的显式为15. 设1是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数 ，其中试求参数和的极大似然估计和矩法估计.解: (1) LM估计， 故是的递增函数,取到最大可能值时可使lnL达到最大,故的极大似然估计为 由可解得的LM这. (2)矩法估计由于，故由 解得 16. 设为取自参数为的普哇松分布的一个子样.试证子样平均和都是的无偏估计.并且对任一值也是的无偏估计.证: 对普哇松分布有, 从而故与都是的无偏估计. 又故也是的无偏估计.17.设为取自正态母体的一个子样,试适当选择,使为的无偏估计.解: 由，且相互独立可知, 从而.取时, 为的无偏估计.18设母体的数学期望为方差又设和为取自此母体的两个子样.试证:是的无偏估计量.其中证:, 故是的无偏估计.19. 设随机变量服从二项分布,n试求无偏估计量.解: 由于 故 从而当抽得容量为N的一个子样后,的无偏估计为:20. 设是取自参数为的普哇松分布的一个子样,试求的无偏估计.解: 由 故 从而, 所以的无偏估计为21. 设是取自正态母体的一个子样,试证对任一固定的, 是 的无偏估计,其中是的分布函数. 证: 记的密度函数为， 则的联合密度函数为从而故（）是的无偏估计.22. 设是取自母体的子样,的分布函数为未知参数,是的一个有偏估计,且, 其中是仅与有关的一个函数,为了减少偏性,常要用如下的“刀切法”。设是把原来子样中第个分量剔除,再以留下的容量为的子样所得的估计量,并且与的估计公式是有同样的形式,则可证明是的无偏估计,称为的一阶刀切估计. 证:23. 设为取自正态母体的一个子样,证明S0和 都是的无偏估计,其中 .证: (1) 由于 令, 则的的密度为 而此时.(2) 由于令则.利用(1)类似的方法可证也是的无偏估计.24. 设是取自均匀分布母体的一个子样,分别取做的估计量,问是否分别为的无偏估计量?如何修正,才能获得的无偏估计. 解: 的密度函数为 其分布函数为 从而的密度为: 的密度函数为 .故均不是的无偏估计.为得到无偏估计可作如下修正:从 可得 将它代入中得: 故.又 从而 ,所以与的无偏估计分别为: .25. 设是取自均匀母体的一个子样,证明估计量 皆为参数的无偏估计,并且.这里表示与同阶. 证: 由母体的密度函数为 其分布函数为 则的密度函数为 由于知由的密度函数知: 故所以与均为的无偏估计.又由知 而 所以.26 设为取自正态母体的一个子样,在下列三个统计量 中,哪一个是的无偏估计,哪一个对的均方误差最小, 解: 记, 则 从而 , 那么由此可知 所以只有是的无偏估计. 而当1时,， 故的均方误差最小.27. 设是取自均匀分布在上的母体的一个子样,求证:和 都是的无偏估计,并指出哪一个方差较小. 证: 设,则E=,且的密度函数为 它们的联合密度为 由此可知,，所以E1=, E2= 即1，2均为无偏估计，它们的方差分别为 D1=D2=当n时，D1=D2，当n2时，, 即D1D2,所以2的方差较小。28设是参数的两个相互独立的无偏估计,且方差试求常数和,使得是的无偏估计,且在一切这样的线性估计类中方差最小.解: 设,则, 为使 即 , 则只需要使达到最小，则需选取在条件下达到最小.用代入，并令则由 得.， 所以当,时可使是这类线性估计量中方差最小的无偏估计.29 设是取自正态母体的一个容量为2的子样,试证明下列三个估计量都是的无偏估计量 ； ； 并指出其中哪一个方差最小.解: ， 显然。 而故均为的无偏估计,且的方差最小. 30. 设随机变量均匀分布在上,为取自此母体的一个子样, 试证： 都是的无偏估计,并指出哪一个方差较小. 解: 可知的密度函数为 ， ，从而 故， 即. 的方差最小.31. 设是参数的个无偏估计,它们的方差与协方差矩阵为 ， 其中 证明:在线性组合类中的最小方差无偏估计是, 且最小方差 , 其中是矩阵V的逆矩阵中的元素. 解: 证:由知而因此问题变为在的条件下，找使得最小.令令得 i=1,2, 此即有矩阵 而 ，故， 从而 ，故 ， 此时的方差是32. 设是取自正态母体的一个子样,试证： 是的一致估计.解: 证 由于， 故 ，. (因为的期望为,方差为2)据契比可夫不等式有:故是的一致估计.33. 设是取自均匀分布在上的母体的一个子样,试证：是的一致估计. 证: 的密度为 从而 , 则 =, 故是的一致估计.34. 设是取自正态母体的一个子样,其中为已知,证明(i) 是的有效估计;(ii) 是的无偏估计,并求其有效率.证由知, , 又的密度函数为, 故对求导得： 从而， 故下界为 。 是的有效估计. 由于故， 即是的无偏估计. 又而故CR下界为， 的有效率为。6.35 设是取自具有下列指数分布的一个子样. 证明是的无偏、一致、有效估计。证: 由于 是的无偏估计.又， 故从而， 而故下界为 因此是的有效估计.另外,由契比可夫不等式所以还是的一致估计.36. 设母体服从珈玛分布,其密度函数为 其中为已知常数,设为取自这一母体的一个子样,为子样均值.设为的无偏、有效估计. 证 : 由于， 故即为的无偏估计.又 再根据密度函数为求得： 故的下界为即D（）达到下界, 所以是的有效估计.37. 设为独立同分布随机变量,其分布为二点分布P(=x) = pxq1-x, x=0,1,其中p+q=1.试证明: 下述统计量都是p的充分统计量 证: 的联合分布是 则取k1= , 由因子分解定理可知:均为P的充分统计量.38. 设 是独立同分布随机变量, 都服从， 则是的充分统计量. 证: 由于的联合密度为 取 , 则由因子分解定理知, 是的充分统计量.39. 设是独立同分布随机变量,都服从具参数为的普哇松分布,则是关于的充分统计量. 证: 由于的联合密度是 取, , 则由因子分解定理知 : 是充分统计量.40. 试证:充分统计量T的一一对应的变换仍是充分统计量.试举出具体例子.41. 设是取自珈玛分布的一个子样,其密度函数为试证: 已知时,是关于的充分统计量; 已知时,是关于的充分统计量.42. 设为取自具有三参数威布尔分布的母体的子样,威布尔分布密度函数 其中为已知常数,是参数,试证: 当已知时,是关于的充分统计量; 当已知时,是关于的充分统计量.43. 设是来自密度函数为 的母体的子样,试证:是关于的充分统计量.44. 设随机变量服从二项分布,求的UMVUE.45. 设是取自珈玛分布的一个子样, 其密度函数为, 为已知常数,试求未知参数的UMVUE.46. 设是独立同分布的随机变量,其分布是均匀分布其密度函数, 试证:是的无偏估计; 是的无偏估计.47. 某厂生产一种产品,这种产品包装好后按一定数量放在盒子里,检验员从一盒里随机地抽取一个容量为的子样,并逐个检查每个产品的质量.假如子样中有三个或更多个废品,那么这一盒被认为是废品,退回工厂,但厂方要求检验员一定要把每盒检查出的废品数通报厂方. 假如产品的废品率为,求任一盒通过的概率;假如检验员通报厂方的数据如下:在检查过的盒产品中,发现它们的废品数分别为, 证明:是的无偏估计. 令试求并指出这是的UMVUE.48 设是参数的UMVUE,是的任一无偏估计,且对一切试证明：cov.49. 设为取自正态母体 N() 的一个子样, 为未知参数，试证: 是的有效估计.证：因为密度函数， 取对数后得 ， 求对 的二阶偏导数， 故 从而得出罗克拉美下界为，由于服从.,于是推得D，因而是的有效估计.50. 设为取自正态母体 N() 的一个子样, 为未知参数，试证: 不是的有效估计.证：因为密度函数， 取对数后得 ， 求对 的二阶偏导数， 故 从而得出罗克拉美下界为，由于服从 于是推得，因而不是的有效估计.51. 设母体具有均匀分布,密度函数为 f(x;, 求未知参数的矩法估计，并证它为无偏估计.解：由于E=, 用矩法估计得方程 = 解这个方程，得的估计。因为 所以是的无偏估计。52. 设母体具有均匀分布,密度函数为 f(x;, 求未知参数极大似然估计，并求其期望.解：设为取自这一母体的一个子样，似然函数是的一个单值递减函数，由于每一个，最大的次序统计量的观测值 在中要使达到极大，就要使达到最小