几种常见数列求和方式及其相应练习题.doc

数列数列求和【考题回放】1. （北京卷）设，则等于（ D ）A. B. C.D.2. 等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（B）A9 B10 C11 D123. （福建）数列的前项和为，若，则等于（B）A1 B C D4. （全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则A. B. C. D.解析:由等差数列的求和公式可得且所以,故选A5. （天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（）A55 B70C85D100解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于=， =，选C.6. （江苏卷）对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是解：，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+2n=2n+1-2数列求和常用方法一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.等差数列求和公式：等比数列求和公式：（切记：公比含字母时一定要讨论） 例1:（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数列的等差数列（2）令求数列的前项和解：（1）由已知得解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得由题意得故数列的通项为（2）由于由（1）得， 又 是等差数列 故例2：已知，求的前n项和.解：由 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） 1针对训练1： 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式） 当 ，即n8时，二、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 则 两式相减并整理即得例2（07高考天津理21）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）解：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和例3：（07高考全国文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得， 所以， （），得 小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和的公式求和.针对训练2： 设数列满足，（）求数列的通项； （）设，求数列的前项和解 (I) 验证时也满足上式，(II) ， - ： ，2. 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. （设制错位） 得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 3.求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减） 三、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （1），特别地当时，（2），特别地当时例1： 求数列的前n项和.解：设 （裂项）则 （裂项求和） 例2：（06湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考虑则=。下列求和： 也可用裂项求和法。 针对训练3：1.在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项） 数列bn的前n项和 （裂项求和） 2： 求证：解：设 （裂项） （裂项求和） 原等式成立四、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例1：数列an的前n项和，数列bn满 .（）证明数列an为等比数列；（）求数列bn的前n项和Tn。解析：（）由，两式相减得：，同定义知是首项为1，公比为2的等比数列. （） 等式左、右两边分别相加得：=例2： 求数列，的前项和分析：此数列的通项公式是，而数列是一个等差数列，数列是一个等比数列，故采用分组求和法求解解： 针对训练4： 求和：解：小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.五、并项求和法：针对一些特殊的数列，将其某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的前n项和时，可将这些项放在一起先求和.例1、已知数列的前n项和，求.解：小结：并项求和法的关键是寻找哪些项合并在一起就具有某种特殊的性质，一旦找到问题就可以顺利的解决.例2：在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） 10例3：求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时， 针对训练5：1： 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 02：求（）解：当为偶数时， ；当为奇数时，综上所述，6、 倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例1：已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得： 所以.小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.例2：（07豫理22.）设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若,且点P的横坐标为.（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若（III）略