练习.2 解一元二次方程（解答）.docx

21.2 解一元二次方程 一、解答题（共60小题；共780分）1 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2m3x+m2=0 的两个不相等的实数根 、 满足 1+1=1，求 m 的值 2 解方程：（1） x23x+2=0；（2） 4x212x+7=0 3 已知 x1=1 是方程 x2+mx5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x2 4 阅读下面的解题过程，并回答后面的问题：已知：方程 x22x1=0，求作一个一元二次方程，使它的根是原方程的各根的平方解：设方程 x22x1=0 的两个根是 x1 、 x2，则所求方程的两个根是 x12 、 x22 x1+x2=2，x1x2=1 （第一步） x12+x22=x1+x222x2x2 （第二步） =2221=6 x12x22=x1x22=1 （第三步）请你回答：（1）第一步的依据是： ；（2）第二步变形用到的公式是： ；（3）第三步变形用到的公式是： ；（4）所求的一元二次方程是： ； 5 （1）已知二次函数 y=x2mx+m 的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值；（2） 已知二次函数 y=x22x3a 的图象与两坐标轴只有一个公共点，求 a 的取值范围 6 已知关于 x 的方程 x2+2m1x+4=0 有两个相等的实数根，求 m 的值 7 解方程组：3x+3y=3,x23+y2=1. 8 已知实数 a，b 是方程 x2x1=0 的两根，求 ba+ab 的值 9 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2k+1x+k2+1=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 10 用因式分解法解方程：x23mx+2m2mnn2=0（m，n 为常数） 11 已知 ， 是一元二次方程 x2+x1=0 的两个根，求 25+53 的值 12 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0a0 有两个相等的实数根，求 ab2a22+b24 的值 13 已知关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根 2，m求 m，n 的值 14 学了一元二次方程后，学生小刚和小明都想出个问题考考对方下面是他们俩的一段对话：聪明的你能替小刚或小明解决问题吗?（要求任选一人回答） 15 解方程：x26x2=0 16 阅读下列材料，并解决问题：（1） 已知方程 x2+3x+2=0 的两根分别为 x1=1，x2=2，计算：x1+x2= ，x1x2= （2） 已知方程 x23x4=0 的两根分别为 x1=4，x2=1，计算：x1+x2= ，x1x2= （3） 已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 有两根分别记作 x1，x2，且 x1=p+p24q2，x2=pp24q2，请通过计算 x1+x2 及 x1x2，探究出它们与 p 、 q 的关系 17 若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+2k=0 有两个实数根，求 k 的取值范围及 k 的非负整数值 18 关于 x 的方程 x22mx2m4=0，证明：无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根 19 设 y=ax，若代数式 x+yx2y+3yx+y 化简的结果为 x2，请你求出满足条件的 a 值 20 x1 、 x2 是方程 2x23x5=0 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1） x12+x22 （2） x1x2 （3） x12+3x223x2 21 已知 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x22m+2x+2m21=0 的两个实根，且满足 x12x22=0，求 m 的值 22 不解方程判断下列方程根的情况：（1） x2m+3x+m=0（m 为常数）；（2） x22kx+4k1=0（k 为常数） 23 已知：在平面直角坐标系中，点 A 、 B 分别在 x 轴正半轴上，且线段 OA 、 OBOAOB 的长分别等于方程 x25x+4=0 的两个根，点 C 在 y 轴正半轴上，且 OB=2OC（1） 试确定直线 BC 的解析式；（2） 求出 ABC 的面积 24 已知 x1，x2 是方程 x24x+2=0 的两根，求：（1） 1x1+1x2 的值；（2） x1x22 的值 25 已知关于 x 的一元二次方程 x2+4x+m1=0（1） 若方程有两个相等的实数根，则 m= ，方程的根为 ；（2） 请你选取一个合适的整数 m，使得到的方程有两个不相等的实数根，并求出此时方程的根 26 当 x 满足条件 x+13x312x40 的整数解， 、 是关于 x 的方程 x2mxm=0 的两个实根，求：（1） 3+3 的值；（2） 4+3 的值 42 设实数 s，t 分别满足 19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0 并且 st1，求 st+4s+1t 的值 43 若 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+bx+c=0 的两个实根，且 x1+x2=2k（k 是整数），则称方程 x2+bx+c=0 为“偶系二次方程”如方程 x26x27=0，x22x8=0，x2+3x274=0，x2+6x27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”（1） 判断方程 x2+x12=0 是否为“偶系二次方程”，并说明理由（2） 对于任意一个整数 b，是否存在实数 c，使得关于 x 的方程 x2+bx+c=0 是“偶系二次方程”，并说明理由 44 阅读下面材料：把方程 x24x+3=0 写成 x24x+44+3=0，即 x221=0因式分解，得 x2+1x21=0，即 x1x3=0发现：1+3=4，13=3结论：方程 x2p+qx+pq=0，可变形为 xp xq=0应用上面总结的解题方法，解下列方程：（1） x2+5x+6=0；（2） x27x+10=0；（3） x25x6=0；（4） x2+3x4=0 45 设 a，b，c 是 ABC 的三边，关于 x 的方程 12x2+bx+c12a=0 有两个相等的实数根，方程 3cx+2b=2a 的根为 x=0（1） 试判断 ABC 三边的关系；（2） 若 a，b 为方程 x2+mx3m=0 的两个根，求 m 的值 46 已知一元二次方程 ax22bx+c=0 的两个根满足 x1x2=2，且 a,b,c 分别是 ABC 的 A,B,C 的对边若 a=c，求 B 的度数小敏解得此题的正确答案 B=120 后，思考以下问题，请你帮助解答（1） 若在原题中，将方程改为 ax23bx+c=0，要得到 B=120，而条件 a=c 不变，那么应对条件中的 x1x2 的值作怎样的改变?并说明理由（2） 若在原题中，将方程改为 ax2nbx+c=0 （ n 为正整数，n2 ），要得到 B=120，而条件 a=c 不变，那么条件中的 x1x2 的值应改为多少（不必说明理由）? 47 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学一天他在解方程 x2=1 时，突发奇想：x2=1 在实数范围内无解，如果存在一个数 i，使 i2=1，那么当 x2=1 时，有 x= i，从而 x= i是方程 x2=1 的两个根据此可知：（1） i 可以运算，例如：i3=i2i=1i=i，则 i4= ，i2011= ，i2012= ；（2）方程 x22x+2=0 的两根为 （ 根用 i 表示 ） 48 已知实数 a 、 b 满足 a2+ab+b2=1, 且 t=aba2b2，求 t 的取值范围 49 若关于 x 的方程 x2+2pxq=0 和 x22qx+p=0 都没有实数根（ p,q 是实数）（1）问式子 qp+pq 是否总有意义，说明理由（2）问 p+q 是否可以是整数，若可以，当 p+q 为整数时，求 p+pqq+q+pqp 的值；若 p+q 不可以为整数，说明理由 50 求方程 x24xy+5y2=169 的整数解 51 已知 , 是方程 x2+5x+2=0 的两根，求 + 的值 52 已知 a，b 为正整数，关于 x 的方程 x22ax+b=0 的两个实数根为 x1，x2，关于 y 的方程 y2+2ay+b=0 的两个实数根为 y1，y2，且满足 x1y1x2y2=2008求 b 的最小值 53 设 a 、 b 、 c 为互不相等的非零实数，求证：三个方程 ax2+2bx+c=0 ， bx2+2cx+a=0 ， cx2+2ax+b=0 ，不可能都有 2 个相等的实数根 54 已知：xn，xn 是关于的方程 anx24anx+4ann=0anan+1 的两个实数根，xn0 的整数解， 是关于 x 的方程 x2mxm=0 的两个实根，求：（1） 3+3 的值；（2） 4+3 的值 59 关于 x 的二次方程 x25x=m21 有实根 和 ，且 +6 ，确定 m 的取值范围 60 已知方程 x31+23mx2+5n+23mx5n=0（1） 若 n=m=0，求方程的根（2） 找出一组正整数 n,m，使得方程的三个根均为整数（3） 证明：只有一组正整数 n,m，使得方程的三个根均为整数答案第一部分1 由判别式大于零，得： 2m324m20 解得：m34，故舍去 m=3. 2 （1） 整理得x1x2=0,解得x1=1,x2=2 （2） a=4，b=12，c=7， =b24ac=122447=32x=bb24ac2a=12428解得x1=3+22,x2=322.3 由题意得：12+1m5=0 解得 m=4 当 m=4 时，方程为 x24x5=0，解得 x1=1 ， x2=5，所以方程的另一根 x2=54 一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式；a2b2=ab2；x26x+1=0 5 （1） 由题意得：二次函数的图象与 x 轴只有一个公共点，则 =m24m=0 ， m=0 或 m=4 （2） 二次函数的图象与两坐标轴只有一个公共点，即该函数图象与 x 轴无交点 当 =4+12a0 时，满足题意， a0， k3410 x23mx+2m+nmn=0， x2mnxm+n=0， x1=2m+n，x2=mn11 应为 是方程 x2+x1=0 的根，所以 2+1=0，即 2=1 4=12=12+2=23，5=4=23=232=53同理 3=2=1=2=21所以 25+53=253+521=10+11=2112 因为一元二次方程 ax2+bx+1=0a0 有两个相等的实数根，所以b24a1=0,即b2=4a.又 ab2a22+b24=a4aa24a+4+4a4=4a2a2，由于 a0，所以ab2a22+b24=4.13 因为的方程 x2+x+n=0 有两个实数根 2，m，所以2m=n,2+m=1,解得m=1,n=2,即 m，n 的值分别为 1，214 我替小刚回答问题：由题意可知方程的一根为 0，把 x=0 代入方程 x22m+1x+m2=0 中，可知 m=0 原方程变为 x22x=0 方程的另一根为 215 这里 a=1，b=6，c=2 b24ac=62412=440 x=64421即 x=311所以，方程的解为 x1=3+11，x2=31116 （1） 3；2 （2） 3；4 （3） x1+x2=p+p24q2+pp24q2=p； x1x2=p+p24q2pp24q2=p2p24q4=q 17 关于 x 的一元二次方程 x2+4x+2k=0 有两个实数根， =42412k=168k0 解得 k2 k 的非负整数值为 0 ， 1 ， 218 =2m2412m4=4m+12+120 无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根19 x+yx2y+3yx+y=x+yx2y+3y=x+y2. 当 y=ax 时，则有 x+ax2=1+a2x2=x2，所以 1+a2=1，即 1+a=1 或 1+a=1，解得 a=0 或 a=220 （1） x12+x22=x1+x222x1x2=714 （2） x1x2=x1+x224x1x2=312 （3） 原式= x12+x22+2x223x2=714+5=1214 21 由题意知，x1+x2x1x2=0，因此 x1+x2=0 或 x1x2=0当 x1+x2=0 时，由韦达定理可知，2m+2=0，解得 m=2当 x1x2=0 时， =4m+2242m21=0，解得 m=1 或 m=5综上，m=2，m=1 或 m=522 （1） =m+324m=m2+6m+94m=m2+2m+9=m2+2m+1+8=m+12+8. 无论 m 取何实数，m+120， m+12+88 0，即方程有两个不相等的实数根 （2） =2k244k1=4k216k+16=4k24k+4=4k220. 方程有两个实数根23 （1） OA 、 OB 的长是方程 x25x+4=0 的两个根，且 OAOB，解得 x1=4，x2=1， OA=1，OB=4 A 、 B 分别在 x 轴正半轴上， A1,0 、 B4,0 OB=2OC，且点 C 在 y 轴正半轴上， OC=2，C0,2设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 0=4k+b,2=b. 解得 k=12,b=2. 直线 BC 的解析式为 y=12x+2 （2） A1,0 、 B4,0， AB=3 OC=2，且点 C 在 y 轴上， SABC=12ABOC=1232=324 （1） x1，x2 是方程 x24x+2=0 的两根， x1+x2=4，x1x2=2 1x1+1x2=x2+x1x1x2=42=2 （2） x1x22=x1+x224x1x2=4242=825 （1） m=5；x1=x2=2 （2） 选取 m=1，则原方程为 x2+4x=0，解方程，得 x1=0，x2=426 由 x+13x3,12x413x4. 求得2x4,则2x4.解方程 x22x4=0 可得x1=1+5,x2=15, 253， 31+50 ，即 0 无论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2） 设方程两根为 x1 ， x2 ，由韦达定理得： x1x2=m2 ，由题意得： m2=m2+9m11 ，解得： m1=9 ， m2=1 ， m+6=7 41 2m1043m0 解得 12m0. 又 x1x2=x1+x224x1x2=3b2a24ca x1x2=5 （2） x1x2=3n4 47 （1） 1；i；1 （2） 1+i 和 1i 48 将 a2+ab+b2=1,aba2b2=t 两式相加，得 2ab=t+1, 故 ab=t+12. 又 a+b2=a2+ab+b2+ab=1+ab=t+320. t3, 且 a+b=t+32. 于是可知 a 、 b 是关于 x 的方程 x2t+32x+t+12=0 的两个实根 =t+322t+1=32t120，解得 t13. 综上所述，t 的取值范围是 3t13. 49 （1）由题意可知， 1=4p2+4q0,2=4q24p0 ，故 p2+q0 ， q2p0 故 qq20 ，故 q0p ， qp+pq 总有意义另外，也可使用反证法，若 qp+pq 无意义，则必有 p=0 或 q=0 若 p=0 ，则有 x22qx=0 ，此时该方程必有实数根，与题意矛盾，同理可知， q=0 也不成立，故 qp+pq 总有意义（2）由（1）可知， qp2q20 由 pq20p2q40 ，故 qp2q40qq3+101q0 故 1qp200p210p1 从而可知， 1p+q0 ，所以 +=522 方法二：注意到 、 都是负数，所以 +=+=+=522 52 由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2a,x1x2=b;y1+y2=2a,y1y2=b.所以 y1+y2=x1+x2=x1+x2,y1y2=x1x2. 解得 y1=x1,y2=x2或y1=x2,y2=x1. 把 y1，y2 的值分别代入 x1y1x2y2=2008，得 x12+x22=x1x1x2x2=2008，或 x1x2x2x1=02008所以 x22x12=x2+x1x2x1=2008，因为 x1+x2=2a0，x1x2=b0，所以 x10，x20所以 x2x10所以 x2x1=x1+x224x1x2=4a24b于是有 2a4a24b=2008即 aa2b=502=1502=2251因为 a，b 都是正整数，所以 a=1,a2b=5022 或 a=502,a2b=1 或 a=2,a2b=2512 或 a=251,a2b=4. 分别解得 a=1,b=15022 或 a=502,b=50221 或 a=2,b=22512 或 a=251,b=25124. 经检验，只有 a=502,b=50221 和 a=251,b=25124 符合题意所以 b 的最小值为 b=25124=6299753 设三个方程都有 2 个相等的实根，则有 1=4b24ac=02=4c24ab=03=4a24bc=0 1+2+3=4a2+b2+c2abbcca=0 ，即 a2+b2+c2abbcca=0 ， ab2+bc2+ca2=0 故 a=b=c ，这与题设矛盾，因此，题中的三个方程不可能都有 2 个相等的实数根54 （1） 2 （2） 2 和 8048 55 显然 x0，两边同除以 x2，得：6x235x+62351x+6x2=0 即：6x2+1x235x+1x+62=0 令 y=x+1x，则 y2=x2+1x2+2，所以方程可化为：6y2235y+62=0，即：6y235y+50=0解得：y1=52，y2=103，即 x+1x=52，x+1x=103解得：x1=2，x2=12，x3=3，x4=1356 （1） 解法一：关于x的方程 a+2x22ax+a=0 有两个不相等的实数根a+20=2a24aa+20解得： a0 ，且 a2 设抛物线 y=x22a+1x+2a5 与x轴的两个交点的坐标分别为 ,0 、 ,0 ，且 0 a 为任意实数 由根与系数关系得： +=2a+1,=2a5 抛物线 y=x22a+1x+2a5 与x轴的两个交点分别位于点 (2，0) 的两旁22202+402a522a+1+432 由、得 a的取值范围是 32a0解法二：同解法一，得： a0 ，且 a2 抛物线 y=x22a+1x+2a5 与 x 轴的两个交点分别位于点 (2，0) 两旁，且抛物线的开口向上当 x=2 时， y0 422a+1+2a532 由、得 a 的取值范围是 32a0 （2） 解： x1 和 x2 是关于 x 的方程 a+2x22ax+a=0 的两个不相等的实数根 x1+x2=2aa+2,x1x2=aa+232a0 x1x2=aa+20,x20 x1+x2=x1x2=22 x122x1x2+x22=8 ，即 x1+x224x1x2=8 2aa+224aa+2=8 解这个方程，得： a1=4,a2=1 经检验， a1=4,a2=1 都是方程 2aa+224aa+2=8 的根 a=4012m43，又 m 是整数，故 m=1，x2x1=0，=152 又 ，c1 是 x2x1=0 的两个实根，故 21=0，21=0故3+3=+1+1=2+2+=2+2=4 （2） 故 b=4，4+3=3+2=559 不妨设方程的根 ，由求根公式得 =5+21+4m22 ， =521+4m22 （1） 当 521+4m20 时，即 m21 ，方程的两个根均为非负数，故 +=+=56 ，符合要求，所以 m21 （2） 当 521+4m21 ， 为正数， 为负数，故 +=21+4m2 所以 m2121+4m26 解之得 1m2154 由、有 m2154 ，即 152m152 综上， m