[名校联盟]福建省长泰县第一中学2012届高三数学二轮复习08讲 指数函数、对数函数与幂函数.ppt

第7讲指数函数 对数函数与幂函数1 指数函数 对数函数 幂函数是中学数学的重要函数模型 是研究函数性质与图象的良好载体 是每一年高考重点考查的对象 每一年各地高考都要涉及到对这几种函数模型的考查 考查的题型多样 从难易度上看 容易题 中档题 难题均有出现 从内容上看 以考查这些函数的图象与性质为主 同时还与数列 向量 方程 不等式 三角函数等知识融合在一起 体现知识点的交汇 是 能力立意 的好素材 备考中必须对这几种函数模型进行认真全面的分析与研究 2 指数函数 对数函数 幂函数还是抽象函数的模型 是研究和解决抽象函数问题的最佳助手 从这三类具体的函数推测相关抽象函数的性质进行预测和分析 会收到事半功倍的好效果 3 三类函数分别以指数运算 对数运算和幂运算为基础 是三类运算 一般化 的结果 因此要在备考中重视指数运算 对数运算与幂运算的意义和性质 熟练掌握它们的运算规律 运算法则 例1 化简或求值 分析依运算性质解决 解 探究拓展 1 化简求值分为两类 有条件与无条件 无条件的指数式可直接化简求值 有条件的应把条件和结论相结合再进行化简求值 2 运用对数的运算法则时 要注意各字母的取值范围 只有所得结果中的对数和所给出的对数都存在时才成立 同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来 变式训练1 解 例2 幂函数y xa 当a取不同的正数时 在区间 0 1 上它们的图象是一族美丽的曲线 如图 设点A 1 0 B 0 1 连接AB 线段AB恰好被其中的两个幂函数的图象三等分 即有BM MN NA 那么 解析方法一由条件 得 答案1探究拓展本题综合考查了幂函数 指数函数 对数函数的运算及其性质 同时考查了指数与对数式的互化 变式训练2点 2 在幂函数f x 的图象上 点在幂函数g x 的图象上 问当x为何值时 有 f x g x f x g x f x g x 方法二 分析先求出函数的解析式 再利用数形结合的方法来求解 解设f x 则由题意 得 2 即f x x2 再设g x 则由题意 在同一坐标系中作出f x 与g x 的图象 如图所示 由图象可知 当x 1或xg x 当x 1时 f x g x 当 1 x 1且x 0时 f x g x 例3 设是R上的偶函数 1 求a的值 2 证明 f x 在 0 上是增函数 分析 1 转化为 x R恒有f x f x 成立 确定a的值 2 用定义法或导数法证明 1 解依题意 对一切x R有f x f x 又a 0 a 1 对一切x R成立 2 证明方法一设00 x2 0 x2 x1 0 得x1 x2 0 f x1 f x2 0 即f x 在 0 上是增函数 方法二由f x ex e x 得f x ex e x e x e2x 1 当x 0 时 有e x 0 e2x 1 0 此时f x 0 所以f x 在 0 上是增函数 探究拓展 1 指数函数y ax a 0 a 0 定义域为R 这不同于对数函数 是保证f x 为偶函数的必要条件 2 恒成立 问题即 与 无关 类命题 可转化为最值问题解决或转化为恒等式问题解决 本例是用后者 得a 1 a 0 实现 零乘以任何数都等于零 3 单调性的证明紧扣定义 关键是运算变形创造出条件 变式训练3已知是奇函数 其中a 0 a 1 1 求m的值 2 讨论f x 的单调性 3 当f x 的定义域区间为 1 a 2 时 f x 的值域为 1 求a的值 解 当a 1时 f x 0 f x 在 1 和 1 上都是增函数 3 13 f x 在 1 a 2 上为减函数 例4 已知函数x 1 1 函数g x f x 2 2af x 3的最小值为h a 1 求h a 2 是否存在实数m n 同时满足以下条件 m n 3 当h a 的定义域为 n m 时 值域为 n2 m2 若存在 求出m n的值 否则 说明理由 分析 1 复合函数 可设t f x 并求出t的范围 将g x 化为关于新元t的二次函数 再求h a 2 探索性问题 往往先假设成立 并依此探求 如能求出合适的值m n 说明 假设成立 是正确的 否则 不成立 解 1 因为 1 x 1 2 因为m n 3 故h a 12 6a 且h a 在 3 上单调递减 假设h a 定义域为 n m 值域为 n2 m2 则有两式相减得6 m n m n m n 又m n 3 所以m n 6 这与 m n 3 m n 6 矛盾 故满足条件 的实数m n不存在 变式训练4已知x满足a2x a6 ax 2 ax 4 a 0 a 1 函数的值域为求a的值 解 a2x a6 ax 2 ax 4 ax a2 ax a4 0 针对a 1与0 a 1两种情况讨论可得 2 x 4 例5 已知函数y f x 的定义域为R 且对任意a b R 都有f a b f a f b 且当x 0时 f x 0 f x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 x1 f x1 故f x 是R上的减函数 2 证明 f a b f a f b 恒成立 可令a b x 则有f x f x f 0 又令a b 0 则有f 0 f 0 f 0 f 0 0 从而 x R f x f x 0 f x f x 故y f x 是奇函数 3 解由于y f x 是R上的单调递减函数 y f x 在 m n 上也是减函数 故f x 在 m n 上的最大值f x max f m 最小值f x min f n 由于f n f 1 n 1 f 1 f n 1 nf 1 同理f m mf 1 又f 3 3f 1 3 f 1 1 f m m f n n 函数y f x 在 m n 上的值域为 n m 探究拓展有关抽象函数的命题由于其 看不见 摸不着 的抽象 一般难度较大 常涉及知识点较多 抽象思维程度要求较高 备考者要多积累 多归纳 通常可从以下四点入手 用具体模型函数猜测有关性质 使问题分析具有一定的方向性和目标性 注意定义域与特殊值的应用如令x y x y x 0 y 1等 利用奇偶性处理符号 f 前的 负号 利用单调性去掉函数符号 f 获得不等式或方程 变式训练5定义在 1 1 上的函数f x 满足 对任意x y 1 1 都有 当x 1 0 时 有f x 0 1 试判断f x 的奇偶性 2 判断f x 的单调性 3 求证 1 解对条件中的x y 令x y 0 再令y x f x 是奇函数 f x f y f 2 解设 10 即f x1 f x2 故f x 在 1 0 上单调递减 由奇函数性质可知 f x 在 0 1 上仍是单调递减函数 f x 在 1 1 上是单调递减函数 3 证明 规律方法总结1 一些重要类型的奇偶函数 1 函数f x ax a x为偶函数 函数f x ax a x为奇函数 2 函数 a 0且a 1 为奇函数 3 函数为奇函数 4 函数为奇函数 5 函数是奇函数 2 一些重要函数的单调性 耐克 函数 其图象如 耐克 的商标 也称双钩函数 1 1 0 0 1 1 4 关于抽象函数问题的研究 1 借鉴函数模型进行类比探究 几类常见的抽象函数 2 特殊化思想 赋值法常令x 0 1 1等先求出f 0 或f 1 或f 1 或令y x y x递推 反证逻辑探究 5 关于恒成立 恒不成立 不恒成立 问题的研究分离参数法 变换主元法 最值法 构造法或以上诸法联用均是研究该类问题的有效可行策略 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 其它类型的 恒不成立 不恒成立 有解 问题 也可类此似处理 一 填空题1 2008 北京 若则a b c的大小关系为 解析利用界值法易得 a b c 2 化简 a 0 b 0 结果为 解析原式3 函数y a1 x a 0 a 1 的图象恒过定点A 若点A在直线mx ny 1 0 m n 0 上 则的最小值为 解析A 1 1 m n 1 当且仅当时 等号成立 4 4 若不等式x2 logax 0在区间内恒成立 则a的取值范围是 解析分别作出y1 x2与y2 logax的图象 依图知a 1时不可能有y1 y2 0 a 1时 是界点 可得5 函数f x ax loga x 1 在 0 1 上的最大值与最小值之和为a 则a的值为 解析f x ax loga x 1 在区间 0 1 上是单调的 则最大值与最小值之和为f 0 f 1 1 a loga2 a 6 设01 a2x 2ax 3 0 ax 3或ax3 且0 a 1 x loga3 loga3 二 解答题7 计算 lg5 lg8 lg1000 解原式 lg5 3lg2 3 3lg22 lg6 lg6 2 3lg5lg2 3lg5 3lg22 2 3lg2 lg5 lg2 3lg5 2 3lg2 3lg5 2 3 lg2 lg5 2 1 8 2008 上海 已知函数 1 若f x 2 求x的值 2 若2tf 2t mf t 0对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值范围 解 1 当x0 x log2 2 当t 1 2 时 即m 22t 1 24t 1 22t 1 0 m 22t 1 t 1 2 1 22t 17 5 故m的取值范围是 5 9 已知f x loga ax 1 a 0且a 1 1 求f x 的定义域 2 讨论函数f x 的单调性 解 1 由ax 1 0 得ax 1 当a 1时 x 0 当01时 f x 的定义域为 0 当01时 设01时 f x 在 0 上是增函数 类似地 当0 a 1时 f x 在 0 上为增函数 10 2009 徐州调研 函数f x loga x 3a a 0且a 1 当点P x y 是函数y f x 图象上的点时 点Q x 2a y 是函数y g x 图象上的点 1 写出函数y g x 的解析式