全国高中数学联赛预赛试题与答案5份.doc

2006年全国高中数学联赛山西预赛试题（2006年9月2日上午8：3011：30）一、选择题（每题7分共35分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有 个A.360 B.252 C.720 D.2402.已知数列(n1)满足=-，且=1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于 A.2005 B.2006 C.2007 D.20083.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是，又侧棱与底面所成的角都是，则这个棱锥的体积是 A.1 B. C. D.4.若(nN+), 则被3除的余数是 A.0 B.1 C.2 D.不能确定5.在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是 A.17 B.16 C.11 D.10二、填空题（每题8分共40分）6.盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球，记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量，则的数学期望E= 7.在锐角三角形ABC中，设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为 8.的末三位数是_9.集合A中的元素均为正整数，具有性质：若，则12-，这样的集合共有 个.10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=.在抛物线上是否存在一点C，使ABC为正三角形 ，若存在，C点的坐标是 .三、解答题（每题25分共75分）11.三个等圆O1,O2,O3,两两外切且均内切于O，从O上任意一点向三个小圆引三条切线，求证：其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.12.设a,b,c(1,+)，证明：2(+).13.有5对孪生兄妹参加k个组的活动，若规定：(1)孪生兄妹不在同一组；(2)非孪生关系的任意两人都恰好共同参加过一个组的活动；(3)有一个人只参加两个组的活动.求k的最小值. 2011年全国高中数学联赛山西省预赛一、填空题（共题，每题10分，计分）1、在集合中，末位数字为的元素个数为 2、椭圆的焦点为，如果椭圆上的一点使，则的面积为 3、数列满足：，；则其前项的和为： 4、若都是完全平方数，则正整数的最小值是 5、函数的最大值是 6、如图，单位正方体中，分别是棱的中点，则点到所在平面的距离为 7、 、如果四位数的四个数码满足，就称其为“好数”；例如就是一个“好数”那么，“好数”的个数是 二、解答题（共题，合计分）、（20分）三角形三个内角的度数满足：；求的值、（分）如图，分别是的边上的点，且，；证明：三线共点，当且仅当三点共线、（25分）个巫师孤岛聚会在这期间,任何三个巫师都曾在一起诅咒过别的某些巫师；证明：其中必存在某个巫师，他至少受到过其余九个巫师的诅咒2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知，则可化简为（ ）A B. C. D. 2如果复数的模为4，则实数a的值为（ ）A. 2 B. C. D. 3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：， 命题q：或，则p是q的（ ）A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（ ）A. B. C. D. 5. 函数，则该函数为（ ）A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）2231 221 22 正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+7某程序框图如右图所示，现将输出（值依 次记为：若程序运行中输出的一个数组是 则数组中的（ ） A64 B32 C16 D88. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ ）A. 4 B.8 C. 16 D. 329. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ ）A. B C. D. 10. 已知，则的解为（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数的最小正周期为_。12. 已知等差数列前15项的和=30，则=_.13. 向量，则的取值范围为 。14. 直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为_ _。15设为实数，则_。16. 马路上有编号为1，2，3，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_种。（用组合数符号表示）17. 设为整数，且，则_3或57_。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）18. 设，求在上的最大值和最小值。19. 给定两个数列，满足， 。证明对于任意的自然数n，都存在自然数，使得 。20. 已知椭圆，过其左焦点作一条直线交椭圆于A，B两点，D为右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 ，求 a的值。 2010年全国高中数学联赛黑龙江省预赛一、选择题(每小题5分，共60分)1.集合则( ). A B. C. D. 2. 已知复数为实数，则实数m的值为（ ）. ABCD3. 与圆相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有( ) A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条4. 已知恒成立，则的取值范围是( ) A. B. C. D.5. 当满足条件时,变量的取值范围是( ). A. B. C. D. 6. 如图是一个程序框图，则输出结果为( ). 开始S=0K=1K10?否K=K+1是输出S结束A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( ). A. B. C. D.8设是连续的偶函数,且当时是严格单调函数,则满足的所有之和为( ). A. B.-8 C. 3 D.9. 若把函数的图象向右平移（0）个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）. A B C D10. 将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是( ) . 高考资源网ABCD11.空间中一点到三条两两垂直的射线的距离分别为,且垂足分别为,则三棱锥的体积为( ). A. B. C . D. 12. 已知集合,定义函数且点 , 若的内切圆圆心为D,且,则满足条件的函数有( ). A . 12 个 B. 10个 C . 6个 D. 16个 二、填空题(每小题5分，共20分)13. 若二项式的展开式中的常数项为-160，则= 14设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是 15. 已知双曲线的右焦点为,过做双曲线的一条渐近线的垂线与双曲线交于,垂足为,若,且,则16. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切，若该球的体积为，则该三棱柱的体积是_ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17. (10分) 设的内角所对的边分别为,且 (1)求角的大小.(2)若,求内切圆半径R的最大值.18. (12分) 为了调查全市学生的数学高考成绩,随机地抽取某中学甲，乙两班各10名同学,获得成绩数据如下, 甲:132,108,112,121,113,121,118,128,118,129乙:133,107,120,113,122,114,128,118,129,127 (单位:分)(1)画出甲，乙两班学生数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图判断哪个班的平均水平较高.(2)若数学成绩不低于120分则称为“优秀”,求从这20名学生中随机选取3人,至多有1人是“优秀”的概率.(3)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩,若从该校(人数很多)任选3人,记表示抽到“优秀”学生的人数,求的分布列及数学期望.19. (12分) 已知数列的首项,前项和为, 且 (1)求数列的通项公式.(2)设函数,是函数的导函数,令,求数列的通项公式, 并研究其单调性.20. (12分) 如图，内接于O，直线切O于点，弦，与相交于点.(1)求证：；(2)若，求21. (12分) 已知定点A（1，0）和定直线x=-1上的两个动点E、F，满足，动点P满足（其中O为坐标原点）.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若，求直线l的斜率的取值范围.22. (12分) 已知函数(1) 试判断函数的单调性；(2) 设，求在上的最大值；（3）试证明：对，不等式 2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题一、填空题（每小题8分，共64分） 1数列满足：，且记前项的和为，则 2在中，已知的平分线交AC于K若BC=2，CK=1，则的面积为 3设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为 4在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 5若均为正实数，且，则的最小值为 6设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为I，则 7对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为 8将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 二、解答题（本大题共3小题，共56分）9（16分）已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立（1）求函数的解析式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围10（20分）设，求使为完全平方数的整数的值11（20分）已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点（1）用表示四边形的面积；（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程2006年全国高中数学联赛山西预赛答案1解：末位是0的数共有个-，末位是2或4的数共有2(-)个.由加法原理，共有-+2(-)=252个.2解：=-=(-)-=-,因此，对n1，+=0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2005=3346+1,2006=3346+2,所以前2005项之和为，即=2006，于是前2006项的和等于+=2007.所以选(C).3解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此4 解：=-21(mod3).所以选(B).5解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，42(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n的最小值是11，所以选(C). 6解：可能取的值是1,2,3,4,6,9P(=1)=, P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,P(=6)=,P(=9)=, E=1+2+3+4+6+9=3.375.7解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角，所以tanB0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,则=，所以=所以cos(B+C-A)=cos(-2A)=-cos2A=1-2=1-=,即f(x)=.8解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=100+100i+9100+100i+21=10000+3000i(i+1)+189189(mod1000).所以=189100900(mod1000).所以末三位是9009.解：从集合A的性质可得，A必然是六个集合1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,6,中某几个的并集，因此符合要求的A共有+=-1=63个.10解：设所求抛物线方程为，由弦长|AB|=建立关于p的方程. 解得 p=或p=-(舍去)，故抛物线方程为. 设AB的中点为D(x0,y0)，抛物线上存在满足条件的点C(x3,y3)，由于ABC为正三角形.所以CDAB，|CD|=|AB|=.由CDAB得 由 解得，不在抛物线上 .故抛物线上存在一点(,)11.证明：设三个小圆的半径为r，大圆的半径为R，并设三个小圆切大圆于A、B、C，P 是大圆上任意一点，由于三角形ABC是等边三角形，有PA=PB+PC(如图).设P向O1,O2,O3所引三条切线的切点分别是,设线段PA，PB，PC分别交O1,O2,O3于D，E，F，连结PO,OB,EO2，易得POBEO2B，由此得=PE=PB,同理PD=PA, PF=PC,因此=(PB+PC)=PA=.12.证明：a,b,c(1,+)，logba,logcb,logac,都是正数，并且它们的乘积等于1，+3=,又2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)3,=,+,即 2(+).13.解：用A,a,B,b,C,c,D,d,E,e表示5对孪生兄妹，首先考虑(3)，不妨设A只参加两个组的活动，要同时满足(1)和(2)，A参加的两个组必为ABCDE和Abcde.然后继续编组，考虑使同组的人尽可能地多，而且避免非孪生关系的任意两人重复编在同一组中，只有从B,C,D,E和b,c,d,e各抽一人（非孪生关系），把这两个人与a搭配，编成四组：Bac,Cab,Dae，Ead才能保证k最小.最后将余下的没有同组的非孪生关系的每两人编成一组，即为Bd,Be,Cd,Ce,Db,Dc,Eb,Ec，共8组，因此符合规定的k的最小值是14.2011年全国高中数学联赛山西省试题解答1.解：将集合中的每个数都截去其末位数字，都会得到集合中的数，而中形如的数，皆可看成由中的元素后面添加数字而得到；故中形如的元素个数，等于的元素个数，即个2.解：易知，所以，在直角中，由以上两式得，3.解：， 所以， 4.解：都是奇平方数；设，则，而为偶数，所以，设，则，当时，不同为平方数，而当，即时，皆为平方数，因此正整数的最小值是5.解：令，则，则，当，即取得等号6.解一、补形法，如图，过的平面截正方体，所得截面是一个正六边形，易知该平面垂直平分正方体的对角线，而，所以到面的距离解二：等体积法，易知，而点到平面的距离， 所以又，即，则，若到面的距离为，则，所以7.解：8.解：由于，记，则当，则上式中的可取中的任意值，可取中的任意值，而当取定后，便随之确定，因此满足的四位数有个；从而满足的四位数共有个；当，由知，皆不能为，令，则，记，则，且四位数与四位数一一对应上式中的及皆可取中的任意值，而当取定后，便随之确定，因此满足的四位数有个，从而满足的共有个，即满足的四位数共有个故“好数”的个数是9.解：设，由，得；而，所以，又令，则，所以从而，即，由于，解此方程得10.证明：据梅尼劳斯定理，三点共线，当且仅当；而据塞瓦定理，三线共点，当且仅当 因直线截，得到，所以，同理，由直线截得，由直线截得，因此，；由于该等式中的一端取值为当且仅当其另一端也取值为，故结论得证11.证：个巫师，共可作成个“三巫组”，每个组至少诅咒过一人，故被诅咒过的巫师至少有人次，设是受到诅咒最多的一个巫师，他被个“三巫组”诅咒过，则，若这个“三巫组”中，总共含有个巫师，这人共可作成个“三巫组”，因此，注意到，当时，组合数严格递增； 因为，由此得2011年浙江省高中数学竞赛试题参考解答1.解答：因为，所以= 。正确答案为D。2.解答：由题意得。正确答案为C。3.解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4.解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得。正确答案为C。5.解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。6.解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。7.答案 经计算。正确答案为 B。8.解答：平面区域的四个边界点（1，1），（1，1），（1，1），（1，1）满足，即有由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。9.解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。10.解答：不等式的左端看成的一次函数，由或。正确答案为C。11.解答：最小正周期为4。12.解答：由，而。13解答： = ，其最大值为3，最小值为1，取值范围为1，3。14解答：因为平面ABC平面，ADBC，所以AD平面，所以ADPE，又PEPD，PE平面APD，所以PEPD。即夹角为。15解答：16解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。17解答：将代入 得到， 因为 都是整数，所以前两个方程组无解；后两个方程组解得。所以3或57。18解答：当 当 - 5分 由此可知 。 - 10分当；当；当。 - 17分19解答：由已知得到：为等比数列，首项为2，公比为2， 所以。 - 5分又由已知，由， 所以取即可。 - 17分 20解答：。设，由 得 - 10分设。由M、A、D共线。又，得=整理得 。 -17分黑龙江省预赛解答1. B 提示: 表示两个抛物线的交点构成的集合,两个方程联立可解.2. D 提示:则.3. C 提示: 由数形结合可知.与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线分成两类,一类是过原点满足条件的直线有 2条,另一类是斜率为-1满足条件的直线也有两条,所以共4条. 4. B 5. C 提示: 当时, , 所以的取值范围是1,3 6. D7. B 提示:抛物线的焦点为，准线为 ,. 设，过点向准线作垂线，则. ，又 由得，即，解得,的面积为8B 提示:依题当满足时，即时，得，此时又是连续的偶函数，另一种情形是，即，得，满足的所有之和为9. C 提示:对称轴方程.10. D 提示: 在 恒成立，恒成立， 即,但符合条件的有(1，3), (1，4), (1，5) (1，6) (2，5) (2，6) 共6种,故11. D 提示: 设的长度分别为则.由体积分割可得 12. A 提示: 设K为AC的中点,由知三点共线,说明 设 ,由数形结合可知且,故. 13. 6 提示:令，常数项为.14 提示:：数列是递增数列， 3， 解得-9，或2 故实数的取值范围是15. 提示: 设,则其与双曲线联立得,而,所以.16. 提示:由体积得球半径，三棱柱的高为4，底面边长为，所以。17. (1)由正弦定理得又,故原式变为 ,为三角形内角, (2) 且,即, 而由余弦定理得,又所以，当且仅当时即为等边三角形时取得. 18.（1）茎叶图略,乙班的平均水平较高. (2) 甲班“优秀”的人数为5人,乙班“优秀”的人数为6人,设“从这20名学生中随机选取3人,没有1人是“优秀”的”事件为, “从这20名学生中随机选取3人,有1人是“优秀”的”事件为, “从这20名学生中随机选取3人,至多有1人是“优秀”的”事件为,则(3) 19. (1)由得,两式相减得, 可得（）,又由已知，所以，即是一个首项为5,公比的等比数列, 。 (2) 令，则。所以，作差得即， 而，所以，作差得，所以是单调递增数列. 20.（1）在ABE和ACD中，ABE=ACD ，又BAE=EDC，BD/MN EDC=DCN. 直线是圆的切线，DCN=CAD，BAE=CAD，（角、边、角） （2）EBC=BCM ， BCM=BDC，EBC=BDC=BAC，BC=CD=4. 又 BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB所以BC=BE=4. 设AE=，易证 ABEDEC，又 ， 21. （1）设、均不为0），由 . 由即 ，得动点P的轨迹C的方程为. （2）设直线l的方程，联立得，且 22.：（1）函数的定义域是：. 由已知 ， 令得， . 当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减 （2）由（I）知函数在上单调递增，在上单调递减，故当即时，在上单调递增，所以当时，在上单调递减，所以