时针分针对调问题解析.doc

时针、分针对调问题精解学大教育航天桥校区 赵德超摘要：时针、分针对调问题，是数学上的一个老问题，在近年来出现频次越来越高，初中数学、小学奥数、各类竞赛中都开始青睐这类趣味数学问题。这类问题目前还没有标准一些的解法，现有的解法都比较难一些。现在讲解精解的解题方法，以飨读者。时针、分针对调问题，近年来受到很多中学教师、奥数教师的青睐。即，某件事开始时间、结束时间，时针、分针位置对调，计算开始时间、结束时间、持续时间。昨天，一位学生拿给我一道时针、分针对调的题，是北京市的十大重点中学首师大附中初三实验班的测试题，全班无一人做出。可见难度还是很高的。这类题解法很多。前文介绍一种最简便、也是最深刻的方法，三句口诀法“时针十二、分针一。开始分针定结束。结束分针定开始），现在发布时针、分针对调问题的精解。 首师大附中的原题是： 老师召开班会。会议开始时候老师看了一下时间，时针在3、4之间，分针在5、6之间(图2)。到会议结束时老师又看了时间，时针在5、6之间，分针在3、4之间（图3）。 图1、事件开始时间 图2、事件结束时间(时针在3、4之间，分针在5、6之间) (时针在5、6之间，分针在3、4之间)问：（1）会议开始时间？ （2）会议结束时间？ （3）会议持续多长时间？（精确到秒） - * - * - * - 解：分析过程：设开始时的时针在 x 处， 15 x 20 分针在 y 处。 25 y 30，如图3.图3、设定开始时候的时针、分针在 x、y 处 一：分针从 y 处开始，运行到 y 处。不足两圈120分钟，为 120 - (y-x) 分钟。 时针从 x 处开始，运行到 y处。每格为12分钟，为 12(y-x) 分钟。 二者相等 120 - (y-x) 12(y-x) 化简，得 x y (1) 二：开始时候，如果从 3:00 整开始，分针走了 y 分钟，时针从3的位置开始，走了 12(x- 35) 分钟 得方程 y = 12(x- 35) 化简 12x y 180 (2) 得二元一次方程组 x y （1） 12x y 180 (2) 解此方程组，得 x 17 （约为 17.2 ） y 26 （约为 26.4 ） 三：开始时间。时针在 17的位置，分针在 26的位置。 开始时间为 3：26 分秒 结束时间。时针在 26的位置，分针在 17的位置。 结束时间为 5：17 分秒 会议持续时间 120 （ ） 120 9 110分钟。该题精确答案：开始时间 3;26 分秒，结束时间 5:17 分秒，会议持续 110分钟（精确到秒）。时针、分针对调问题，正成为奥数的一个新领域，也成为全国各地数学竞赛的一个新热点。参考文献1 马国伟，中学生数学，2002年第6期2 王玲鸣，0:8020/u/1016/archives/2010/21293.html3 吴曙红，时代数学学习(七年级)，2004年第Z2期 2012年2月9日 于北京西三环钟表分针与时针对调后依然成立的时间有几种DFGHHS5889 数学 2014-09-26 优质解答 这个是当年爱因斯坦生病在医院时 一个朋友摩西科夫斯基看望他时 给他出的 我记得结果应该是143吧记得以前做过这题设一个表有60个刻度设满足对调仍然成立的时间是x点y分 那么分针的位置 就是在离12点有y个刻度的位置同理设时针的位置 是在离12点有z个刻度的位置（注意 这个z不是x 也就是说在5点到6点之间 时针的刻度并不是5 而是5-6之间的一个值这个值的取法 在下面 通过分针走过的刻度和两针速度比来求）我们知道 分针的速度 是时针的12倍我们知道 从12点起 分针运转了60x+y个刻度那么时针就运行了z=（60x+y）/12 个刻度对调之后 分针 就变成了时针的位置 设这个时候的时间为m点z分那么同前一个时间时针距离12点有(60m+z)/12个刻度而这个刻度 恰好就是前一个时间的分针位置也就是y=(60m+z)/12这样就有方程组z=(60x+y)/12 y=(60m+z)/12其中 x和m的范围是从0到11通过化简方程组变化为y=60(x+12m)/143z=60(m+12x)/143那么每组x和m 就对应一组y和z 也就对应一个时针在z刻度 分针在y刻度的位置也就对应一个满足条件的时间我们知道x和m 各有12种选择那么一共就是12*12=144种 但是有两种是重复的就是x=0 m=0时 y=0 z=0 和 x=11 m=11时 y=60 z=60其实 这两个都是0点0分 所以要减去1个 也就是143个记得应该是这么做 打了半天 边想边