D11_5_1+2高斯,2斯托克斯公式(合).ppt

第五节 一 高斯公式 二 通量与散度 机动目录上页下页返回结束 高斯公式斯托克斯公式 第十一章 三 斯托克斯公式 四 环流量与旋度 一 高斯 Gauss 公式 定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 下面先证 函数P Q R在 面 所围成 则有 Gauss公式 高斯目录上页下页返回结束 的方向取外侧 证明 为XY型区域 则 定理1目录上页下页返回结束 设 所以 若 不是XY 型区域 则可引进辅助面将其分割 成若干个XY 型区域 故上式仍成立 负抵消 在辅助面正反两侧面积分正 类似可证 三式相加 即得所证Gauss公式 定理1目录上页下页返回结束 例1 用Gauss公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧 解 这里 利用Gauss公式 得 原式 用柱坐标 及平面z 0 z 3所围空间 思考 若 改为内侧 结果有何变化 若 为圆柱侧面 取外侧 如何计算 机动目录上页下页返回结束 例2 利用Gauss公式计算积分 其中 为锥面 解 作辅助面 取上侧 介于z 0及 z h 0之间部分的下侧 所围区域为 则 机动目录上页下页返回结束 利用重心公式 注意 机动目录上页下页返回结束 例3 设 为曲面 取上侧 求 解 作取下侧的辅助面 先二后一 轮换对称性 机动目录上页下页返回结束 在闭区域 上具有一 二阶连续偏导数 证明格林 Green 第一公式 例4 设函数 其中 是整个 边界面的外侧 分析 高斯公式 机动目录上页下页返回结束 证 令 由高斯公式得 移项即得所证公式 机动目录上页下页返回结束 二 通量与散度 引例 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1 速度场为 理意义可知 设 为场中任一有向曲面 单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系 流量还可表示为 机动目录上页下页返回结束 若 为方向向外的闭曲面 当 0时 说明流入 的流体质量少于 当 0时 说明流入 的流体质量多于流出的 则单位时间通过 的流量为 当 0时 说明流入与流出 的流体质量相等 流出的 表明 内有涌出 表明 内有吸入 根据高斯公式 流量也可表为 机动目录上页下页返回结束 方向向外的任一闭曲面 记 所围域为 设 是包含点M且 为了揭示场内任意点M处的特性 在 式两边同除以 的体积V 并令 以 任意方式缩小至点M 则有 此式反应了流速场在点M的特点 其值为正 负或0 分别反映在该点有流体涌出 吸入 或没有任何变化 机动目录上页下页返回结束 定义 设有向量场 其中P Q R具有连续一阶偏导数 是场内的一片有向 则称 曲面 有向曲面 的通量 流量 在场中点M x y z 处 divergence 机动目录上页下页返回结束 表明该点处有正源 表明该点处有负源 表明该点处无源 散度绝对值的大小反映了源的强度 例如 匀速场 故它是无源场 P16目录上页下页返回结束 说明 由引例可知 散度是通量对体积的变化率 且 例5 置于原点 电量为q的点电荷产生的场强为 解 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符 机动目录上页下页返回结束 三 斯托克斯 Stokes 公式 定理1 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 斯托克斯公式 个空间域内具有连续一阶偏导数 的 侧与 的正向符合右手法则 在包含 在内的一 则有 简介目录上页下页返回结束 注意 如果 是xoy面上的一块平面区域 则变成格林 公式 格林公式 或用第一类曲面积分表示 定理1目录上页下页返回结束 斯托克斯公式 行列式辅助记忆式 例6 利用斯托克斯公式计算积分 其中 为平面x y z 1被三坐标面所截三角形的整个 解 记三角形域为 取上侧 则 边界 方向如图所示 利用对称轮换性 机动目录上页下页返回结束 例7 为柱面 与平面y z的交线 从z 轴正向看为顺时针 计算 解 设 为平面z y上被 所围椭圆域 且取下侧 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 公式目录上页下页返回结束 四 环流量与旋度 斯托克斯公式 设曲面 的单位法向量为 曲线 的单位切向量为 机动目录上页下页返回结束 令 引进一个向量 rotation 定义 沿有向闭曲线 的环流量 或 于是得斯托克斯公式的向量形式 旋度 机动目录上页下页返回结束 则斯托克斯公式可写为 设某刚体绕定轴l转动 M为刚体上任一 点 建立坐标系如图 则 点M的线速度为 此即 旋度 一词的来源 旋度的力学意义 机动目录上页下页返回结束 注意 与 的方向形成右手系 斯托克斯公式 的物理意义 例8 求电场强度 的旋度 解 除原点外 这说明 在除点电荷所在原点外 整个电场无旋 机动目录上页下页返回结束 的外法向量 计算 解 例9 设 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 所围立体 判断下列演算是否正确 1 2 为 机动目录上页下页返回结束 思考与练习