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第六节 Green公式 Gauss公式 推广 一 高斯公式 高斯公式 第十一章 斯托克斯公式 二 斯托克斯公式 Stokes公式 一 高斯 Gauss 公式 定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 函数P Q R在 面 所围成 则有 Gauss公式 高斯 的方向取外侧 利用两类曲面积分的联系 高斯公式还可以有 以下形式 其中 是 在点 x y z 处的法 向量的方向余弦 例1 用Gauss公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧 解 这里 利用Gauss公式 得 原式 及平面z 0 z 3所围空间 思考 若 改为内侧 结果有何变化 若 为圆柱侧面 取外侧 如何计算 利用质心公式 注意 例2 利用Gauss公式计算积分 其中 为锥面 解 作辅助面 取上侧 介于z 0及z h 之间部分的下侧 为法向量的方向角 所围区域为 则 利用质心公式 注意 思考 计算曲面积分 提示 作取上侧的辅助面 介于平面z 0及z 2 之间部分的下侧 先二后一 例3 设 为曲面 取上侧 求 解 作辅助面 用柱坐标 用极坐标 下侧 二 斯托克斯公式 定理2 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 斯托克斯公式 个空间域内具有连续一阶偏导数 的 侧与 的正向符合右手法则 在包含 在内的一 则有 简介 注意 如果 是xOy面上的一块平面区域 则斯托克斯 公式就是格林公式 故格林公式是斯托克斯公式的特例 定理1 为便于记忆 斯托克斯公式还可写作 或用第一类曲面积分表示 定理1 例4 利用斯托克斯公式计算积分 其中 为平面x y z 1被三坐标面所截三角形的整 解 记三角形域为 取上侧 则 个边界 方向如图所示 利用对称性 例5 为柱面 与平面y z的交线 从z 轴正向看为顺时针 解 设 为平面z y上被 所围椭圆域 且取下侧 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 公式其他形式 计算 内容小结 1 高斯公式及其应用 公式 应用 计算曲面积分 非闭曲面时注意添加辅助面的技巧 2 斯托克斯公式 作业 P2361 4 P2452 4 P2474 2 3 第七节 思考与练习 所围立体 判断下列演算是否正确 1 2 为 备用题设 是一光滑闭曲面 所围立体 的体 是 外法线向量与点 x y z 的向径 试证 证 设 的单位外法向量为 则 的夹角 积为V 高斯 1777 1855 德国数学家 天文学家和物理学家 是与阿基米德 牛顿并列的伟大数学家 他的数学成就遍及各个领域 在数论 级数 复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献 他还十分重视数学的应用 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法 曲面论和位势论等 他
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