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第二章静电场 2 1库仑定律与电场强度 2 2高斯定理 2 3静电场的旋度与静电场的电位 2 4电偶极子 2 5电介质中的场方程 2 6静电场的边界条件 2 7导体系统的电容 2 8电场能量与能量密度 2 9电场力 2 1库仑定律与电场强度 2 1 1库仑定律 图2 1库仑定律用图 式中 R r r 表示从r 到r的矢量 R是r 到r的距离 R 是R的单位矢量 0是表征真空电性质的物理量 称为真空的介电常数 其值为 库仑定律表明 真空中两个点电荷之间的作用力的大小与两点电荷电量之积成正比 与距离平方成反比 力的方向沿着它们的连线 同号电荷之间是斥力 异号电荷之间是引力 点电荷q 受到q的作用力为F 且F F 可见两点电荷之间的作用力符合牛顿第三定律 库仑定律只能直接用于点电荷 所谓点电荷 是指当带电体的尺度远小于它们之间的距离时 将其电荷集中于一点的理想化模型 对于实际的带电体 一般应该看成是分布在一定的区域内 称其为分布电荷 用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情况 电荷体密度的含义是 在电荷分布区域内 取体积元 V 若其中的电量为 q 则电荷体密度为 其单位是库 米3 C m3 这里的 V趋于零 是指相对于宏观尺度而言很小的体积 以便能精确地描述电荷的空间变化情况 但是相对于微观尺度 该体积元又是足够大 它包含了大量的带电粒子 这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数 如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内 则可认为电荷分布在一个几何曲面上 用面密度描述其分布 若面积元 S内的电量为 q 则面密度为 对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况 若线元 l内的电量为 q 则线密度为 2 1 2电场强度 电荷q 对电荷q的作用力 是由于q 在空间产生电场 电荷q在电场中受力 用电场强度来描述电场 空间一点的电场强度定义为该点的单位正试验电荷所受到的力 在点r处 试验电荷q受到的电场力为 对于体分布的电荷 可将其视为一系列点电荷的叠加 从而得出r点的电场强度为 同理 面电荷和线电荷产生的电场强度分别为 例2 1一个半径为a的均匀带电圆环 求轴线上的电场强度 解 取坐标系如图2 2 圆环位于xoy平面 圆环中心与坐标原点重合 设电荷线密度为 l 图2 2例2 1用图 所以 2 2高斯定理 图2 3立体角 若S是封闭曲面 则 高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系 先考虑点电荷的电场穿过任意闭曲面S的通量 若q位于S内部 上式中的立体角为4 若q位于S外部 上式中的立体角为零 对点电荷系或分布电荷 由叠加原理得出高斯定理为 2 15 要分析一个点的情形 要用微分形式 如果闭合面内的电荷是密度为 的体分布电荷 则式 2 15 可以写为 由于体积V是任意的 所以有 例2 2假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为 0的电荷 试求任意点的电场强度 解 当r a时 故 当r a时 所以 例2 3已知半径为a的球内 外的电场强度为 求电荷分布 解 由高斯定理的微分形式 得电荷密度为 用球坐标中的散度公式 可得 r a r a 2 3静电场的旋度与静电场的电位 由于 电场强度可表示为一个标量位函数的负梯度 所以有 可用一个标量函数的负梯度表示电场强度 这个标量函数就是静电场的位函数 简称为电位 电位 的定义由下式确定 电位的单位是伏 V 因此电场强度的单位是伏 米 V m 体分布的电荷在场点r处的电位为 线电荷和面电荷的电位表示式与上式相似 只需将电荷密度和积分区域作相应的改变 对于位于源点r 处的点电荷q 其在r处产生的电位为 因为静电场是无旋场 其在任意闭合回路的环量为零 即 或 通常 称 P P0 为P与P0两点间的电位差 或电压 一般选取一个固定点 规定其电位为零 称这一固定点为参考点 当取P0点为参考点时 P点处的电位为 当电荷分布在有限的区域时 选取无穷远处为参考点较为方便 此时 将E 代入高斯定理的微分形式 得到 若讨论的区域 0 则电位微分方程变为 上述方程为二阶偏微分方程 称为拉普拉斯方程 其中 2在直角坐标系中为 例2 4位于xoy平面上的半径为a 圆心在坐标原点的带电圆盘 面电荷密度为 S 如图2 4所示 求z轴上的电位 解 由面电荷产生的电位公式 以上结果是z 0的结论 对任意轴上的任意点 电位为 图2 4均匀带电圆盘 例2 5求均匀带电球体产生的电位 解 r a r a 由此可求出电位 当r a时 当r a时 例2 6若半径为a的导体球面的电位为U0 球外无电荷 求空间的电位 解 即 再对其积分一次 得 在导体球面上 电位为U0 无穷远处电位为零 分别将r a r 代入上式 得 这样解出两个常数为 所以 总之 真空中静电场的基本解可归纳为 2 4电偶极子 图2 5电偶极子 用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向 它定义为电荷q乘以有向距离l 即 电偶极子在空间任意点P的电位为 其中 r1和r2分别表示场点P与q和 q的距离 r表示坐标原点到P点的距离 当 r时 从而有 其电场强度在球坐标中的表示式为 图2 6电偶极子的电场分布 2 5电介质中的场方程 2 5 1介质的极化 极化强度的单位是C m2 2 5 2极化介质产生的电位 图2 7极化介质的电位 设极化介质的体积为V 表面积是S 极化强度是P 现在计算介质外部任一点的电位 在介质中r 处取一个体积元 V 因 r r 远大于 V 的线度 故可将 V 中介质当成一偶极子 其偶极矩为p P V 它在r处产生的电位是 整个极化介质产生的电位是上式的积分 对上式进行变换 利用 变换为 再利用矢量恒等式 令 例2 7一个半径为a的均匀极化介质球 极化强度是P0ez 求极化电荷分布及介质球的电偶极矩 解 取球坐标系 让球心位于坐标原点 极化电荷体密度为 极化电荷面密度为 分布电荷对于原点的偶极矩由下式计算 积分区域D是电荷分布的区域 因此 得 2 5 3介质中的场方程 在真空中高斯定理的微分形式为 E 0 其中的电荷是指自由电荷 在电介质中 高斯定理的微分形式便可写为 将 P P代入 得 这表明 矢量 0E P的散度为自由电荷密度 称此矢量为电位移矢量 或电感应强度矢量 并记为D 即 于是 介质中高斯定理的微分形式变为 将介质中静电场的方程归纳如下 与其相应的积分形式为 2 5 4介电常数 式中 e为极化率 是一个无量纲常数 从而有 称 r为介质的相对介电常数 称 为介质的介电常数 对于均匀介质 为常数 电位满足如下的泊松方程 例2 8一个半径为a的导体球 带电量为Q 在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳 壳外是空气 如图2 8所示 求空间任一点的D E P以及束缚电荷密度 图2 8例2 8用图 解 r a 介质内 a r b 介质外 b r 介质内表面 r a 的束缚电荷面密度 介质外表面 r b 的束缚电荷面密度 2 6静电场的边界条件 图2 9法向边界条件 或 如果界面上无自由电荷分布 即在 S 0时 边界条件变为 或 图2 10切向边界条件 因为 l2 l l l1 l l l 是单位矢量 上式变为 注意到n l 故有 场强度的切向分量连续 意味着电位是连续的 即 由于 法向分量的边界条件用电位表示为 在 S 0时 设区域1和区域2内电力线与法向的夹角分别为 1 2 导体内的静电场在静电平衡时为零 设导体外部的场为E D 导体的外法向为n 则导体表面的边界条件简化为 例2 9同心球电容器的内导体半径为a 外导体的内半径为b 其间填充两种介质 上半部分的介电常数为 1 下半部分的介电常数为 2 如图2 11所示 设内 外导体带电分别为q和 q 求各部分的电位移矢量和电场强度 图2 11例2 9用图 解 在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分 有 2 7导体系统的电容 2 7 1电位系数 i 1 2 n 导体i的总电位应该是整个系统内所有导体对它的贡献的叠加 即导体i的电位为 或写成矩阵形式 由电位系数的定义可知 导体j带正电 电力线自导体j出发 终止于导体i上或终止于地面上 又由于导体i不带电 有多少电力线终止于它 就有多少电力线自它发出 所发出的电力线不是终止于其它导体上 就是终止于地面 电位沿电力线下降 其它导体的电位一定介于导体j的电位和地面的电位之间 所以 i j j 1 2 n 电位系数具有互易性质 即 2 7 2电容系数和部分电容 i j 令 i j 则上式变成 图2 12部分电容 例2 10导体球及与其同心的导体球壳构成一个双导体系统 若导体球的半径为a 球壳的内半径为b 壳的厚度很薄可以不计 如图2 13所示 求电位系数 电容系数和部分电容 图2 13例2 10用图 解 再设导体球的总电荷为零 球壳带电荷为q2 可得 因此 电容系数矩阵等于电位系数矩阵的逆矩阵 故有 部分电容为 例2 1假设真空中两个导体球的半径都为a 两球心之间的距离为d 且d a 求两个导体球之间的电容 解 例2 12一同轴线内导体的半径为a 外导体的内半径为b 内 外导体之间填充两种绝缘材料 a r r0的介电常数为 1 r0 r b的介电常数为 2 如图2 14所示 求单位长度的电容 图2 14例2 12用图 解 设内 外导体单位长度带电分别为 l l 内 外导体间的场分布具有轴对称性 由高斯定理可求出内 外导体间的电位移为 各区域的电场强度为 内 外导体间的电压为 因此 单位长度的电容为 2 8电场能量与能量密度 2 8 1电场能量 设每个带电体的最终电位为 1 2 n 最终电荷为q1 q2 qn 带电系统的能量与建立系统的过程无关 仅仅与系统的最终状态有关 假设在建立系统过程中的任一时刻 各个带电体的电量均是各自终值的 倍 1 即带电量为 qi 电位为 i 经过一段时间 带电体i的电量增量为d qi 外源对它所作的功为 id qi 外源对n个带电体作功为 因而 电场能量的增量为 在整个过程中 电场的储能为 2 8 2能量密度 图2 15能量密度 将 D 和D n S代入上式 有 利用矢量恒等式 则 并且注意在导体表面S上n n 得 式中V已经扩展到无穷大 故S 在无穷远处 对于分布在有限区域的电荷 1 R D 1 R2 S R2 因此当R 时 上式中的面积分为零 于是 对于各向同性介质 例2 13若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内 计算电场能量 解 用高斯定理可以得到电场为 r a r a 所以 例2 14若一同轴线内导体的半径为a 外导体的内半径为b 之间填充介电常数为 的介质 当内 外导体间的电压为U 外导体的单位为零 时 求单位长度的电场能量 解 设内 外导体间电压为U时 内导体单位长度带电量为 l 则导体间的电场强度为 两导体间的电压为 即 单位长度的电场能量为 2 9电场力 虚位移法求带电导体所受电场力的思路是 假设在电场力F的作用下 受力导体有一个位移dr 从而电场力作功F dr 因这个位移会引起电场强度的改变 这样电场能量就要产生一个增量dWe 再根据能量守恒定律 电场力作功及场能增量之和应该等于外源供给带电系统的能量dWb 即 1 电荷不变 如果虚位移过程中 各个导体的电荷量不变 就意味着各导体都不连接外源 此时外源对系统作功dWb为零 即 因此 在位移的方向上 电场力为 2 电位不变 如果在虚位移的过程中 各个导体的电位不变 就意味着每个导体都和恒压电源相连接 此时 当导体的相对位置改变时 每个电源因要向导体