6-弹塑性力学-基本求解方法.ppt

第六章弹性力学基本求解方法 6 1弹性力学的基本方程回顾 应力平衡微分方程 3 几何方程 6 物理方程 6 相容方程边界条件方程 第六章弹性力学基本求解方法 6 2弹性力学的基本问题已知表面载荷 求应力场 应变场和位移 力的边值问题 已知表面位移 求应力场 应变场 位移边值问题 已知部分边界载荷及部分边界位移 求应力场 应变场和位移 混合边值问题 15个未知量 应力分量6个 应变分量6个 位移分量3个15个方程 应力平衡微分方程 3 几何方程 6 物理方程 6 理论上可解 实际上并不可解 为什么 第六章弹性力学基本求解方法 弹性力学的基本求解方法位移法 以位移作为未知量进行求解的方法理论上可解 实际上弹性力学并没有沿着这种思路发展 但这种思路在解空间问题时很有用 可以证明 用这种方法求解的位移肯定是连续的 对于第一种边界条件 平面问题 对于第二种边界条件 平面问题 第六章弹性力学基本求解方法 应力法 以应力作为未知量进行求解的方法 如何保证求解结果一定连续 应力函数 stressfunction 应力表示的相容方程 平面问题 借助平衡微分方程把剪应力去掉 即由物理方程可得在常体力下于是有即 其中拉普拉斯算子 物理意义 表征应力的连续性 可以证明 应力满足了相容方程 也就满足了应力平衡条件 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数的引入定义 条件 应力平衡微分方程 相容方程 平面问题 直角坐标系 或 第六章弹性力学基本求解方法 逆解法 inverseresolution 思路 1 假设出满足相容方程的应力函数 2 由应力函数求解出各应力分量 3 确定这些应力分量在边界上的分布 从而得知这些假设的应力函数能解决什么问题 例如 1 一阶 满足相容方程表示无应力作用的情况 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 逆解法2 满足相容方程y方向受单向拉应力作用 如图6 1 a 3 满足相容方程x方向受单向拉应力作用 如图6 1 b 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 逆解法4 满足相容方程受纯剪应力作用 如图6 1 c 5 满足相容方程一般的平面应力状态 如图6 1 d 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 逆解法6 满足相容方程受纯弯曲载荷作用 如图6 1 f 7 只有才能满足双调和函数的条件 所以4次和4次以上的函数不能恒等地满足双调和函数的条件 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 逆解法 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 逆解法8 如图 简支梁受自重作用 比重力r 那么函数能否作其应力函数 若能 求应力分量 解 将代入双调和函数中 可得只有当A 5B 0时 才能满足 即当A 5B时 题中函数 才可作应力函数 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 逆解法于是有应力分量 利用边界条件 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 逆解法于是可求得 所以 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 逆解法总结 应力函数设计1 集中载荷 按材料力学方法求解2 均布载荷 3 线性分布载荷 4 非线性分布载荷 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 半逆解法思路 根据弹性体边界形状及受力特点 假设部分应力分量 再由部分应力分量推导出应力函数 由应力函数推导出全部应力分量 再考察这些应力分量是否满足边界条件 半逆解法例题 如图 水坝受水压和自重作用 求坝体内的应力场 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 半逆解法解 分析 水压 单位坝体重 分别为水和密体的密度 在OA面上无面力 自由表面 在OB面上受水压q作用 线性面力 因此 应力函数可以设计成坐标的三次函数 a b c d为待定参数 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 半逆解法于是有应力分量 考察边界条件 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 半逆解法在OA面上无应力 则 第六章弹性力学基本求解方法 应力函数 半逆解法从而得坝体内的应力场为 第六章弹性力学基本求解方法 位移法应用 错配球如图 求金属体内错配球引起的应力场 应变场和应变能 第六章弹性力学基本求解方法 位移法应用 错配球解 设基体为均质 各向同性体 基体质点半径为 错配粒子为刚性球 半径为 并有则 错配度分析 基体变形为球对称变形 则边界条件 符合圣维南原理 第六章弹性力学基本求解方法 位移法应用 错配球根据应力平衡微分方程有 球对称问题的一般应力平衡微分方程 由根据广义虎克定律 第六章弹性力学基本求解方法 位移法应用 错配球由可得对于应力平衡微分方程 是r的函数 与 和无关 故可写为代入几何方程和物理方程 整理可得 第六章弹性力学基本求解方法 位移法应用