维随机变量函数的分布)(1).ppt

3 3二维随机变量函数的分布 第3章多维随机变量及其分布 已知二维随机变量 X Y 的联合分布为F x y z g x y 为二维连续函数 求一维随机变量Z g X Y 的分布 3 3 1二维离散型随机变量函数的分布设 X Y 为二维离散型随机变量 则函数是一维离散型随机变量 若已知 X Y 的分布律 如何得到的分布律 3 3二维随机变量函数的分布 设 X Y 为二维离散型随机变量 其联合分布律为P X xi Y yj pij i j 1 2 Z g X Y 为一维离散型随机变量 若对于不同 xi yj 函数值g xi yj 互不相同 则Z g X Y 的分布律为P Z g xi yj pij i j 1 2 若对于不同的 xi yj 函数g xi yj 有相同的值 则取相同g xi yj 值对应的概率要合并相加 3 3 1二维离散型随机变量函数的分布 3 3 1二维离散型随机变量函数的分布 例 设 X Y 的分布律为试求 Z1 X Z2 Y X Z3 min X Y 的分布律 解 将 X Y 及各个函数的取值对应列于同一表中 3 3 1二维离散型随机变量函数的分布 易得到下列随机变量的分布律 取相同值的概率给以合并 3 3 1二维离散型随机变量函数的分布 例 设 且X与Y独立 证明 证 取值为0 1 2 Z k 是互不相容事件的和 考虑到独立性 对任意非负整数k 有 3 3 1二维离散型随机变量函数的分布 即证明了本例的结论说明 泊松分布具有可加性 设 X Y 为二维连续型随机变量 其概率密度为f x y 为X Y的函数 它也是连续型随机变量 求Z的概率密度的一般按下面两步进行 1 求Z的分布函数其中 2 FZ z 对z求导数 得Z的概率密度为 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 例 和的分布 设 X Y 的概率密度为f x y 求Z X Y的概率密度 解 事件X Y Z所占有的区域如图 对积分作变量变换x u y得 于是 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 对z求导数得由X Y的对称性 又有 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 设 X Y 的概率密度为f x y Z X Y的概率密度 特别地 当X和Y独立时 X Y的概率密度分别为和 则上述两式可分别写成和这两个公式称为卷积公式 记为 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 例 正态分布的可加性 设X和Y都服从N 0 1 且相互独立 求Z X Y的概率密度 解 由卷积公式令 得即Z N 0 2 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 一般地 设X Y相互独立 且 则更一般地 可以证明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布 即定理3 1 正态分布的重要性质 若X1 X2 Xn为相互独立的随机变量 且C1 C2 Cn为n个任意常数 则 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 例 设X和Y是两个相互独立的随机变量 其概率密度分别为求 随机变量Z X Y的概率密度 解 因 欲使 即使 x与z必须满足即将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴影部分 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 1 时 由于 故 2 时 3 时 综上所述 得到 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 例 最大值与最小值分布 设X1 X2 Xn是相互独立的n个随机变量 若 试在以下情况下求Y和Z的分布 1 Xi Fi x i 1 2 n 2 Xi同分布 即Xi F x i 1 2 n 3 Xi为连续随机变量 且Xi同分布 即Xi的概率密度为f x i 1 2 n 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 解 1 的分布函数为的分布函数为 3 3 2二维连续型随机变量函数的分布 2 将Xi共同的分布函数F x 代入 1 的结果中 得 3 Y和Z的分布函数仍为上述两式 概率密度可由上述两式分别对y和z求导得到 3 3 2二维