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文档简介

5 4二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 研究二次曲面特性的基本方法 截痕法 其基本类型有 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 的图形通常为二次曲面 二次项系数不全为0 1 椭球面 1 范围 2 与坐标面的交线 椭圆 与 的交线为椭圆 4 当a b时为旋转椭球面 同样 的截痕 及 也为椭圆 当a b c时为球面 3 截痕 为正数 2 椭圆锥面 椭圆 在平面x 0或y 0上的截痕为过原点的两直线 可以证明 椭圆 上任一点与原点的连线均在曲面上 椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换 3 抛物面 1 椭圆抛物面 p q同号 2 双曲抛物面 鞍形曲面 特别 当p q时为绕z轴的旋转抛物面 p q同号 4 双曲面 1 单叶双曲面 椭圆 时 截痕为 实轴平行于x轴 虚轴平行于z轴 平面 上的截痕情况 双曲线 虚轴平行于x轴 实轴平行于z轴 时 截痕为 相交直线 时 截痕为 双曲线 2 双叶双曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 图形 5 柱面 引例 分析方程 表示怎样的曲面 的坐标也满足方程 解 在xoy面上 表示圆C 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为 故在空间 过此点作 柱面 对任意z 平行z轴的直线l 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程 定义 平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成 的轨迹叫做柱面 表示抛物柱面 母线平行于z轴 准线为xoy面上的抛物线 z轴的椭圆柱面 z轴的平面 表示母线平行于 且z轴在平面上 表示母线平行于 C叫做准线 l叫做母线 一般地 在三维空间 柱面 柱面 平行于x轴 平行于y轴 平行于z轴 准线xoz面上的曲线l3 母线 柱面 准线xoy面上的曲线l1 母线 准线yoz面上的曲线l2 母线 例 表示抛物柱面 母线平行于y轴 准线为xoz面上的抛物线 z轴的双曲柱面 表示母线平行于 定义一条平面曲线 旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面 该定直线称为旋转 轴 例如 建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程 故旋转曲面方程为 当绕z轴旋转时 若点 给定yoz面上曲线C 则有 则有 该点转到 例求坐标面xoz上的双曲线 分别绕x 轴和z轴旋转一周所生
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