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热传导方程的导出 热传导问题三类边界条件 三维热传导方程推导 几个记号 记 与Laplace算子相关的另一算子 梯度算子 grad 或 显然 梯度算子 其中 k是导热系数 u x y z 是导热体中的温度 付里叶热传导定律 在dt时段内 通过面积元dS流入体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率成正比 也与dS和dt成正比 通过曲面进入导热体的总热量 三维热传导方程推导 通过曲面进入导热体的总热量 温度升高所需热量 Q1 Q2 三维热传导方程 ut a2 uxx uyy uzz Q1 Q2 记a2 k c 初始条件 u x y z 0 x y z ut a2 uxx uyy uzz u II 第二类边界条件 III 第三类边界条件 I 第一类边界条件 已知边界温度 边界上有热流进入 边界上有热交换 热传导问题三类边界条件 一维热传导方程 ut a2uxx 热传导方程的初边值问题 第一类边界条件 例如 L长的细杆边界上有热流进 出 1 在x L处有热流q流出ux x L q k2 在x L处有热流q流入ux x L q k3 在x 0处有热流q流出ux x L q k4 在x 0处有热流q流入ux x L q k 这里为沿热流方向的方向导数 边界上有热交换 拉普拉斯方程与拉普拉斯算子 二维热传导方程 ut a2 uxx uyy 三维热传导方程 ut a2 uxx uyy uzz 热传导问题中 如果物体内部没有热源 物体外围温度不随时间变化 则经过相当长时间以后 物体内部的温度将不再改变 趋于稳定状态 ut 0 uxx uyy uzz 0 Laplace方程 或 正方形区域上第一
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