随机变量及离散型随机变量.pptVIP

关于随机变量的研究 是概率论的中心内容 1 4随机变量 在随机现象中 有很大一部分问题与数值发生关系 例如 在产品检验问题中出现的废品数 在车间供电问题中某一时刻正在工作的车床数 测量的误差 灯泡的寿命等都与数值有关 因此 在随机试验中 我们的观测对象常常是一个或若干随机取值的变量 有些初看起来与数值无关的随机现象 也常常能用数值来描述 例如 在掷一枚硬币问题中 每次出现的结果为正面 记为H 或反面 记为T 与数值没有关系 但是我们可以用下面方法使它与数值联系起来 当出现正面时对应数 1 而出现反面时对应数 0 即相当于引入一个定义在样本空间 上的变量 其中 由于试验结果的出现是随机的 因而 的取值也是随机的 通过以上的分析 我们可以看到 一类试验的结果 自然地对应着一个实数 而另一类试验的结果需要人为地建立试验结果与数值的关系 由此可见 无论是那一种情况 都是试验结果 即样本点 和实数 之间 的一个对应关系 一 随机变量 定义 设 是试验的样本空间 如果量X是定义在 上的一个单值实值函数即对于每一个 有一实数X X 与之对应 则称X为随机变量 直观上讲 随机变量就是随着试验结果的不同而取不同数值的量 随机变量常用X Y Z或 等表示 例3 1有5件产品 其中2件是次品 用a1 a 表示 3件是正品 用b b b 表示 从中任意取出2件 此时随机试验的样本空间为 a a a b a b a b a b a b 我们将 中的样本点依次记为 a b b b b b b b 考虑抽取的两件产品中次品的个数X 显然X是定义在 上的 一个随机变量 即 可具体表示为 随机变量 取不同数值的概率为 通常记为 称为随机变量的概率分布 根据概率分布 可以清楚地看到随机变量 的取值和概率 例如 为此我们引入随机变量分布函数的定义 二 随机变量的分布函数 一 分布函数的概念 定义设X是随机变量 对任意实数x 事件 X x 的概率P X x 称为随机变量X的分布函数 记为F x 即F x P X x 易知 对任意实数a b a b P a X b P X b P X a F b F a 二 分布函数的性质 1 单调不减性 若x1 x2 则F x1 F x2 2 归一性 对任意实数x 0 F x 1 且 3 右连续性 对任意实数x 反之 具有上述三个性质的实函数 必是某个随机变量的分布函数 故该三个性质是分布函数的充分必要性质 若随机变量X以函数 x 为其分布函数 通常也 称X服从分布函数 x 常记作 x 有些书中将分布函数定义为 x x 这与我们的定义无本质区别 在此定义下 上述4个基本 性质中 1 2 和 3 同样成立 性质 4 则由 右 连续 变为 左连续 随机变量的分类 1 离散型随机变量 随机变量仅取数轴上的有限个或可列个点 2 连续型随机变量 随机变量的可能取值充满数轴上的一个或若干区间 3 奇异型随机变量 既不是离散型随机变量 也不 是连续型随机变量 1 5离散型随机变量 1 定义若随机变量X取值x1 x2 xn 且取这些值的概率依次为p1 p2 pn 则称X为离散型随机变量 而称P X xk pk k 1 2 为X的分布律或概率分布 可表为X P X xk pk k 1 2 或 x1x2 xK Pkp1p2 pk 1 pk 0 k 1 2 2 例1设袋中有5只球 其中有2只白3只黑 现从中任取3只球 不放回 求抽得的白球数X为k的概率 解k可取值0 1 2 2 分布律的性质 一般地 对离散型随机变量X P X xk pk k 1 2 其分布函数为 例1中随机变量X具分布律如右表 解 试求出X的分布函数 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数是阶梯函数 则该随机变量必为离散型 例3 某射手对目标独立射击5次 每次命中目标的概率为p 以X表示命中目标的次数 求X的分布律 解 设Ai 第i次射击时命中目标 i 1 2 3 4 5则A1 A2 A5 相互独立且P Ai p i 1 2 5 SX 0 1 2 3 4 5 1 p 5 3 几个常用的离散型分布 一 退化分布 若随机变量只取常数a 即P X a 1 则称X服从a处的退化分布 二 0 1 分布 若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数 则称X服从参数为n p的二项分布 记作X B n p 其分布律为 定义设将一个贝努里试验独立重复进行n次 每次试验中 事件A发生的概率均为p 则称这n次试验为n重贝努里试验 n重贝努里试验中事件A恰好发生k次的概率记为B k n p 三 二项分布 例4 从某大学到火车站途中有6个交通岗 假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立 并且遇到红灯的概率都是1 3 1 设X为汽车行驶途中遇到的红灯数 求X的分布律 2 求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率 解 1 由题意 X B 6 1 3 于是 X的分布律为 例5 某人射击的命中率为0 02 他独立射击400次 试求其命中次数不少于2的概率 解设X表示400次独立射击中命中的次数 则X B 400 0 02 故P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0 98400 400 0 02 0 98399 0 9973 使得B k n p 取到最大值的m为二项分布随机变量的最可能值或称为最大可能成功值注 m n 1 p 例保险公司为一单位500名员工办理了一年期医疗保险 每张保单最多理赔一次 假设员工是否发生医疗费用是相互独立的 理赔概率为0 01 问保险期内最可能发生几次理赔 并求相应的概率 二项分布图像 四 泊松 Poisson 分布P X P X k 另外 一本书一页中印刷错误数 某医院在一天内的急诊病人数目 某一地区一个时间间隔内发生的交通事故次数等都服从泊松分布 k 0 1 2 0 例6 设每对夫妇的子女数X服从参数为 的泊松分布 且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e 2 求任选一对夫妇 至少有3个孩子的概率 解 由题意 泊松分布是二项分布关系泊松分布是二项分布的极限分布 当n很大 p很小时 二项分布就可近似地看成是参数 np的泊松分布 泊松定理设随机变量Xn B n p n 0 1 2 且n很大 p很小 记 np 则 用泊松定理取 np 400 0 02 8 故近似地有 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 1 8 e 8 0 996981 回忆例5 某人射击的命中率为0 02 他独立射击400次 试求其命中次数不少于2的概率 五 几何分布进行独立重复试验 每次成功的概率为p 令X k表示直到第k次试验才成功 求X的分布律 我们称随机变量X服从几何分布 记为X g p 在实际计算中 当n 100 p 0 1 np 10时 我们就 可以使用以上近似公式计算 当然 当n越大 p越小 np大小 适中时 近似公式计算就越精确 性质设 g p n m为任意两个自然数 则 这个性质称为几何分布的无记忆性 例7 某班有学生20名 其中有5名女同学 今从班上 任选4名学生去参观展览 被选到的女同学人数X是一个随 机变量 求X的概率分布 六 超几何分布 超几何分布产生于不放回抽样 而二项分布产生于有放回抽样 在实际工作中 抽样一般都采用不放回方式 因此计算 时应该用超几何分布 但是 当N较大时 超几何分布计算 较繁琐 若产品总数N很大 而抽样的次数n相对于N很小时 超几何分布可以用二项分布来近似 即有以下定理 定