一元一次方程等量关系.docx

一元一次方程等量关系方法一：根据常见的公式寻找等量关系1、 工作问题和工程问题（1） 单人工作：工作总量工作效率工作时间（2） 多人合作：甲的工作总量+乙的工作总量+。工作总量【例】某工作甲单独做4天完成，乙单独做8天完成。现甲先做1天，然后和乙共同完成余下工作。问甲一共做了几天？甲单独一天可以完成总量的1/4，乙单独一天完成1/8;甲干1天后剩余：1-1*1/4=3/4设甲乙共同完成余下的需要X天则X*(1/4+1/8)=3/4解得X=2天所以甲一共干了：1+2=3天【例】一项工程，甲队独做要120天完成，如果甲队先做10天，乙队再做5天，就可以完成这项工程的，乙队单独做这项工程需要多少天？解：设乙队的工作效率为X，得：5X+10/120=5/24解得X=1/40答：乙队单独做这项工程需要40天2、 行程问题 路程速度时间（特别注意：两地的距离不变）（1）追击问题： 同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离追者走的路程前者走的时间追者走的路程同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程前者走的时间追者走的时间+等待时间【例】甲乙两地路程为180千米,一人骑自行车从甲地出发每小时走15千米,另一人骑摩托车从乙地出发。已知，摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且出发2小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？解：设摩托车经过时间x追上自行车自行车行驶的路程：S自=15*（x+2）摩托车行驶的路程：S摩=15*3x由于S自=S摩+180，代入数据，得x=7答：摩托车7小时追上【例】甲乙两人都以不变的速度在400米环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分，乙的速度是甲速度的3/2倍，问经过多长时间后两人首次相遇？第二次相遇呢？首先要相遇，肯定是乙超了甲足足一圈乙的速度：100*3/2=150m/min设第一次相遇经过时间为X150X-100X=400X=8设第二次相遇经过时间为Y150Y-100Y=400*2Y=16（2）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程两地间的距离【例】甲乙两站之间相距360千米，上午9点1刻，一辆慢车和一辆快车分别分别从两站相向开往对方车站，经过3小时相遇，已知快车速度是慢车的1.5倍，问两车在什么时刻相距90千米？设慢车速度为V，则快车速度为1.5V，相约90千米所用时间为t列方程1。vt+1.5vt=360km(t=3h) 求得慢车速度V=120km/h列方程2。vt+1.5vt=250km(v=120km/h,t为两车运行时间） 求得时间t=5/6小时【例】上午8时，甲乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，上午9时，两人相距54km，两人继续前进，到上午11时，两人又相距54km，已知甲每小时比乙多走3km，求A、B两地的距离。分析如下：两地距离不变，据此可列等式。9时的时候，甲走的距离加乙走得距离加54就等于两地的距离11时的时候，根据题意，甲乙已经相遇了一次，两人走得距离相加比两地距离还多了一个54.解：设乙速度Xkm/小时，则甲速度（X+3）km/小时.根据题意可列方程X+(X+3)+54=3X+3(X+3)-54解得X=25.5所以两地距离为X+(X+3)+54=108km（3）航行问题：顺风（水）速度静风（水）中的速度+风（水）速度逆风（水）速度静风（水）中的速度-风（水）速度引申：在静风（水）中的速度12（顺风（水）速度+逆风（水）速度）风（水）中的速度12（顺风（水）速度-逆风（水）速度）【例】3、利润问题销售毛利率=（销售收入-营业成本）/销售收入*100%（1）商品利润商品售价商品成本价（进价） 商品的成本价（进价）商品利润率（2）商品利润率商品利润/商品成本价（进价）100%（3）商品销售额商品销售价商品销售量（4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售【例】某商品的进价是250元，标价为320元，商店要求保持利润率15.2%的售价打折出售，则可以打几折出售此商品？设打折x销售，则320*x=250*(1+15.2%)320x=288x=288320x=0.9【例】一种商品的买入单价为1500元，如果出售一件商品获得的毛利润是卖出单价的15，那么这种商品出售单价应定为多少元？（精确到1元）这种商品出售单价应定为x元,0.15x=x-1500x=1764.711765【例】某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品.经过市场调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况,如何购销获利最多？设商场的资金为x元 月初出售，获利为：x*（1+15%）（1+10%）-x=0265x 月末出售，获利为：x*03-700=03x-700 令0265x=03x-700 解得 x=20000 当商场的资金为20000元时，月初出售和月末出售获利一样多 令0265x03x-700 解得 x20000 当商场的资金少于20000元时，月初出售获利多 令0265x03x-700 解得 x20000 当商场的资金多于20000元时，月末出售获利多【例】某商店有一套运动服，按标价的8折出售仍可获利20元，已知这套运动服的成本价为100元，问这套运动服的标价是多少元？考点：一元一次方程的应用专题：销售问题分析：设这套运动服的标价是x元此题中的等量关系：按标价的8折出售仍可获利20元，即标价的8折-成本价=20元解答：解：设这套运动服的标价是x元根据题意得：0.8x-100=20，解得：x=150答：这套运动服的标价为150元点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解【例】某企业生产一种产品，每件成本为400元，销售价为510元，本季度销售了m件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售将提高10%，要使销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？考点：一元一次方程的应用专题：应用题；经济问题分析：此题文字叙述量大，要审清题目，找到等量关系：销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变，设该产品每件的成本价应降低x元，则每件产品销售价为510（1-4%）元，销售了（1+10%）m件，新销售利润为510（1-4%）-（400-x）（1+10%）m元，原销售利润为（510-400）m元，列方程即可解得解答：解：设该产品每件的成本价应降低x元，则根据题意得510（1-4%）-（400-x）m（1+10%）=m（510-400），解这个方程得x=10.4答：该产品每件的成本价应降低10.4元4、利息问题利息本金利率期数本息和本金+利息税后利息利息-利息利息税率【例】小华将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）考点：一元一次方程的应用专题：应用题；增长率问题分析：要求存款的年利率先设出未知数，再通过等量关系就是两年的本金加上利息减去够买学习用品的钱等于最后的本息之和解答：解：设第一次存款的年利率为x，则第二次存款的年利率为 x2，第一次的本息和为（100+100x）元由题意，得（100+100x-50） x2+50+100x=63，解得x=0.1或x= -135（舍去）答：第一次存款的年利率为10%点评：解题的关键要理解题的大意，特别是第二次到期的本息为50+100x，很多同学都会忽略100x，根据题目给出的条件【例】某小店老板从面包厂购进面包的价格是每个0.6元，按每个面包1.0元的价格出售，卖不完的以每个0.2元于当天返还厂家，在一个月（30天）里，小店有20天平均每天卖出面包80个，其余10天平均每天卖出面包50个，这样小店老板获纯利600元，如果小店老板每天从面包厂购进相同数量的面包，求这个数量是多少？考点：一元一次方程的应用专题：经济问题分析：由题意得，他进的包子数量应在50-80之间；等量关系为：（20进货量+1050）每个的利润-（进货量-50）10每个赔的钱=600；据此列出方程解可得答案解答：解：设这个数量是x个由题意得：（20x+500）（1-0.6）-（x-50）10（0.6-0.2）=600，解得：x=50故这个数量是50个方法二：抓住数学术语找等量关系1、和差关系和倍数关系常用“一共有”、“比多”、“比少”、“是的几倍”等术语表示，增长量原有量增长率 现在量原有量增长量。在解题时可抓住这些术语去找等量关系，按叙述顺序来列方程。【例】2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？考点：一元一次方程的应用专题：应用题分析：等量关系为：居民家庭用水=生产运营用水的3倍+0.6解答：解：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8-x）亿立方米依题意，得5.8-x=3x+0.6，解得：x=1.3，5.8-x=5.8-1.3=4.5答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系本题也可根据“生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米”来列等量关系【例】小刚在商场发现他喜欢的随身听和书包单价之和是452元，并且随身听的单价比书包单价的4倍少8元求小刚喜欢的随身听和书包的单价考点：一元一次方程的应用专题：应用题；经济问题分析：本题的关键语“随身听和书包单价之和是452元，并且随身听的单价比书包单价的4倍少8元”，即随身听的单价=书包单价4-8依此等量关系列方程求解解答：解：设随身听单价为x元，则书包的单价为（452-x）元，列方程得：x=4（452-x）-8，解得：x=360当x=360时，452-x=92【例】有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为 分 过完第二铁桥所需的时间为 分 依题意，可列出方程 + = 解方程x+50=2x-50 得x=100 2x-50=2100-50=150 答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米【例】一千零一夜中有这样一个段文字：有一群鸽子，其中有一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽子群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多”。你知道树上树下各有多少鸽子吗？解：设树上有x只，树下有y只. y-1/x+y=1/3 x-1/y+1=1 解得x=7;y=5即树上有7只，树下有5只。【例】2008年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共100枚，金牌数位列世界第一其中金牌比银牌与铜牌之和多2枚，银牌比铜牌少7枚问金、银、铜牌各多少枚？考点：一元一次方程的应用分析：可设银牌数为x枚，则铜牌为（x+7）枚金牌数为x+（x+7）+2，根据获得金、银、铜牌共100枚列出方程求解即可解答：解：设银牌数为x枚，则铜牌为（x+7）枚金牌数为x+（x+7）+2，（1分）依题意得x+（x+7）+x+（x+7）+2=100（3分）解得x=21，（5分）所以x+7=21+7=28；21+28+2=51答：金、银、铜牌分别为51枚、21枚、28枚（6分）点评：考查一元一次方程的应用；得到各个奖牌数的等量关系是解决本题的易错点2、数字问题一般可设个位数字为X，十位及百位、千位等数字用各位数字表示。100百位数字+10十位数字+各位数字表是这个数，然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。【例】一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数和个位上的数对调，那么所得的两位数比原来两位数大36，求原两位数。解：设原十位数为X，个位数为2X，原两位数为（10X+2X）。(2X*10+X)-（10X+2X）=36(20X+X)-（10X+2X）=3621X-12X=369X=36X=4原两位数=10X+2X=104+24=48答：原来的两位数是48。3、得分问题对的得分+错的得分总分胜的得分+平的得分+负的得分总分例: 我校“春之声”广播室小记者谭艳同学为了及时报道学校参加全市中学生篮球比赛情况，她从领队韦老师那里了解到校队共参加了16场比赛，积分28分按规定赢一场得2分，输一场得1分可是小谭忘记了输赢各多少场了，请你根据上面提供的信息分别求出输、赢各多少场？考点：一元一次方程的应用专题：应用题；比赛问题分析：球队赢球后得分加上输球得分应该等于总得分，即可列方程解应用题解答：解：设球队赢了x场，则输了（16-x）场，由题可得：2x+（16-x）1=28解得：x=12，答：球队赢了12场，输了4场4、分段问题第一段+第二段+第三段. 总额注意段界，进行验证【例】从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡路每小时行10km，下坡路每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min从甲地到乙地的路程是多少？考点：一元一次方程的应用专题：行程问题分析：本题首先依据题意得出等量关系即甲地到乙地的路程是不变的，进而列出方程为10（ 2960-x）=18（ 2560-x），从而解出方程并作答解答：解：设平路所用时间为x小时，29分= 2960小时，25分= 2560，则依据题意得：10（ 2960-x）=18（ 2560-x），解得：x= 13，则甲地到乙地的路程是15 13+10（ 2960-13）=6.5km，【例】某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费 （1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）0.4070%=30.72 解得a=60 （2）设九月份共用电x千瓦时，则 0.4060+（x-60）0.4070%=0.36x 解得x=90 所以0.3690=32.40（元） 答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元方法三：从变化的关系中寻找不变的量，并利用不变的量来寻找相等关系1、年龄问题大小两个年龄差不会变 年龄增长一岁一年【例】兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x 由题意，得2（9+x）=15+x 18+2x=15+x，2x-x=15-18 x=-3 答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍 （点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）【例】王老师对小强说：“我像你这么大的时候你才2岁，到你长到我这般年龄时，我已经44岁了。” 求王老师和小明的现在年龄。设，王老师的年龄为：X岁。则，小强的年龄为：X-（44-X）岁。根据王老师与小强年龄相差关系相等可得：我像你这么大时，你才2岁；有王老师与小强年龄相差关系： X-（44-X）-2 当你像我这么大时，我就44岁啦。有王老师与小强年龄相差关系：44-X 44-X=X-（44-X）-2 X=30， 小强的年龄为：X-（44-X）岁=16.2、分法问题第一种分法的总量第二种分法的总量【例】例某校组织师生春游，若单独租45座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租60座客车，则可少租1辆，且余30个空位。（1）求该校参加春游的人数；（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中