2第二章拉普拉斯变换及其应用.ppt

第2章拉普拉斯变换及其应用 2 1拉氏变换的概念2 2拉氏变换的运算定理2 3拉氏反变换2 4拉氏变换应用举例 2 1拉氏变换的概念 本章简要叙述拉氏变换 和拉氏反变换 的概念 拉氏变换的运算定理和应用拉氏变换求解微分方程的基本方法 并通过拉氏变换应用举例 介绍了典型一 二阶系统的单位阶跃函数和典型一阶系统的单位斜坡响应 拉普拉斯变换 TheLaplaceTransfrom 简称拉氏变换 是一种函数的变换 经变换后 可将微分方程式变换成代数方程 并且在变换的同时即将初始条件引入 避免了经典解法中求积分常数的麻烦 因此这种方法可以使微分方程求解题的过程大为简化 在经典自动控制理论中 自动控制系统的数学模型是建立在传递函数基础之上的 而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上的 因此 拉氏变换是经典控制理论的数学基础 下一页 返回 2 1拉氏变换的概念 若将实变量的函数 乘以指数函数 其中 是一个复变数 再在0到之间对进行积分 就得到一个新的函数 称为拉氏变换式 并可用符号表示 上式称为拉氏变换的定义式 为了保证式中等号右边的积分存在 收敛 应满足下列条件 当 当 分段连续 当 较衰减得更快 上一页 下一页 返回 2 1 2 1拉氏变换的概念 由于是一个定积分 t将在新函数中消失 因此 只取决于s 它是复变数s的函数 拉氏变换将原来的实变量函数转化为复变量函数 拉氏变换是一种单值变换 和之间具有一一对应的关系 通常前者称为原函数 后者为象函数 由拉氏变换的定义式 可以从已知的原函数求取对应的象函数 例如例一 求单位阶跃函数 UnitStepFunction 的象函数 在自动控制原理中 单位阶跃函数是一个突加作用信号 相当一个开关的闭合 或断开 在求它的象函数前 首先应给出单位阶跃函数的定义式 上一页 下一页 返回 2 1拉氏变换的概念 见图2 1 a 则单位阶跃函数1 t 定义为见图2 1 b 所以在自动控制系统中 单位阶跃函数相当一个突加作用信号 由式 2 1 有 上一页 下一页 返回 2 1拉氏变换的概念 例二 求单位脉冲函数 UnitPuiseFuction 的象函数 设函数函数的特点是单位脉冲函数定义为 在时及在时为0 在t 0时 由 又由 但对时间的积分为1 即 上一页 下一页 返回 见图2 2 a 见图2 2 b 2 2 2 1拉氏变换的概念 在自动控制系统中 单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号 它的变换式由式 2 1 有 上一页 下一页 返回 2 3 2 1拉氏变换的概念 例三 求与间的关系由以上两例可见 在区间 0 里 而 所以由上式有 上一页 下一页 返回 2 4 2 1拉氏变换的概念 由上式有 2 5 由式 2 4 和式 2 5 可知 单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数 反之 单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数 例四 求斜坡函数 RampFunction 的象函数 斜坡函数的定义式为 在自动控制原理中 斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号 在研究随动系统时 常以斜坡信号作为典型的输入信号 同理 根据拉氏变换的定义式有 上一页 下一页 返回 式中k为常数 2 1拉氏变换的概念 若式K 1 即单位斜坡函数 上一页 下一页 返回 2 6 2 1拉氏变换的概念 例五 求指数函数 ExponentialFunction 的象函数 由式 2 1 有例六 求正弦函数 SinusoidalFunction 的象函数 上一页 下一页 返回 2 7 2 1拉氏变换的概念 实用上 常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式 通过查表 就能够知道原函数的象函数 或象函数的原函数 十分方便 上一页 返回 2 8 2 2拉氏变换的运算定理 在应用拉氏变换时 常需要借助于拉氏变换运算定理 这些运算定理都可通过拉氏变换定义式加以证明 现分别叙述如下 一 叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和 即证 下一页 返回 2 2拉氏变换的运算定理 二 比例定理K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍 即 上一页 下一页 返回 2 10 2 2拉氏变换的运算定理 三 微分定理及在零初始条件下 上一页 下一页 返回 2 11 2 2拉氏变换的运算定理 当初始条件时 同理 可求得若具有零初始条件 即则 上一页 下一页 返回 2 2拉氏变换的运算定理 上式表明 在初始条件为零的前提下 原函数的阶导数的拉氏式等于其象函数乘以 这使函数的微分运算变得十分简单 它是拉氏变换能将微分运算转换成代数运算的依据 因此微分定理是 个十分重要的运算定理 四 积分定理 上一页 下一页 返回 2 13 2 14 2 2拉氏变换的运算定理 上一页 下一页 返回 2 2拉氏变换的运算定理 当初始条件时 由上式有同理 可以证明在零初始条件下有 上一页 下一页 返回 2 2拉氏变换的运算定理 上式同样表明 在零初始条件下 原函数的重积分的拉氏式等于其象函数除以 它是微分的逆运算 与微分定理同样是十分重要的运算定理 五 位移定理上式表明 原函数乘以因子时 它的象函数只需把中的用s代替s a即可 也就是将平移了位置a 上一页 下一页 返回 2 2拉氏变换的运算定理 六 延迟定理原函数延迟t时间 即成为 参见图2 3 由图2 3可见 当时 以新变量置换 设 既 当t由时 则x由 代入上式 可得 上一页 下一页 返回 2 16 2 2拉氏变换的运算定理 上式表明 当原函数延迟 即成为时 相应的象函数应乘以因子 七 相似定理 2 17 证对上式进行变量置换 令 则 于是上式可写为 上一页 下一页 返回 2 2拉氏变换的运算定理 上式表明 当原函数的自变量t变化1 a时 则它对应的象函数及变量s将按比例变化a倍 八 初值定理证由微分定理有当时 对上式左边取极限有 以此代入上式有即 证毕 上一页 下一页 返回 2 18 2 2拉氏变换的运算定理 上式表明原函数在t 0时的数值 初始值 可以通过将象函数乘以s后 再求的极限值求得 条件是当和时等式两边各有极限存在 九 终值定理由微分定理有对上式两边取极限由于当时 所以等式左边可写成 上一页 下一页 返回 2 19 2 20 2 2拉氏变换的运算定理 以上式代入式 2 20 两边消去 得 证毕 上式表明原函数在时的数值 稳态值 可以通过将象函数乘以s后 再求的极限值来求得 条件是当和时 等式两边各有极限存在 终值定理在分析研究系统的稳态性能时 例如分析系统的稳态误差 求取系统输出量的稳态值等 有着很多的应用 因此终值定理也是一个经常用到的运算定理 由于拉氏变换具有上述这些简明的运算定理 使拉氏变换的应用更加方便 上一页 返回 2 3拉氏反变换 由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换InverseLaplaceTransform 拉氏反变换常用下式表示拉氏变换和反变换是一一对应的 所以 通常可以通过查表来求取原函数 在自动控制理论中常遇到的象函数是的有理分式 即这种形式的原函数 般不能直接由拉氏变换对照表中查得 因此 要用部分分式展开法先将化为一些简单分式之和 这些分式的原函数可以由查表得到 则所求原函数就等于各分式原函数之和 下一页 返回 2 3拉氏反变换 展开部分分式的方法是先求出方程的根s1 s2 sn 于是 可以写为如下形式再将上式展开成部分分式式中c1 c2 cn为待定系数 求待定系数有多种方法 这里仅作简单介绍 上一页 下一页 返回 2 20 2 3拉氏反变换 1 无重根这时可将换写为n个部分分式之和 每个分式分母都是的一个因式 即如果确定了每个部分分式中的待定系数c1 则由拉氏变换表即可查得的反变换 如求c1时 用乘以式 2 20 并令s s1 即 上一页 下一页 返回 2 21 2 3拉氏反变换 在上式中 当s s1时 s s1 0 所以方括号中的各项将为零 于是 同理 其余系数可由下式求出 全部待定系数求出后 运用线性性质 并参照式 2 7 即可求得 上一页 下一页 返回 2 22 2 23 2 3拉氏反变换 2 有重根设时 在s s1处有r个重根 这时可展开成如下部分分式之和式中 为在s s1处不等于零的函数 将式 2 24 乘以 得当 上式含的项均为零 于是有 上一页 下一页 返回 2 24 2 25 2 26 2 3拉氏反变换 若将式 2 25 对s求导数得同理 当时 上式含的项均为零 于是有依次类推 可得 上一页 下一页 返回 2 3拉氏反变换 将已求得的各待定系数Ar A r 1 A1代入 再根据表2 1 如第6行 求得各对应项的拉氏反变换式 即各原函数项 于是原函数f t 为 在上式中 由式 2 23 可求得 当然 对比较简单的象函数 除应用上述方法外 也可用直接通分的方法来求取待定系数 上一页 返回 2 27 2 4拉氏变换应用举例 例一 求典型一阶系统的单位阶跃响应 设典型一阶系统的微分方程为 式中 r t 为输入信号 c t 为输出信号 T为时间常数 其初始条件为零 解对微分方程两边进行拉氏变换有由于 则 代入上式有 下一页 返回 2 28 2 4拉氏变换应用举例 由上式用待定系数法可求得A 1 B T 代人上式有 对上式进行拉氏反变换 由表2 1可查得由式 2 29 所表达的响应曲线如图2 4所示 上一页 下一页 返回 2 29 2 4拉氏变换应用举例 由式 2 29 和图2 4可知 它是一根按指数规律上升的曲线 由于典型一阶系统在自动控制系统中是经常遇到的 所以对它的单位阶跃响应曲线应再作进一步的分析 响应曲线起点的斜率m为由上式可知 响应曲线在起点的斜率m为时间常数T的倒数 T愈大 m愈小 上升过程愈慢 过渡过程时间 由图2 4可见 在经历T 2T 3T 4T和5T的时间后 其相应的输出分别为稳态值的63 2 86 5 95 98 2 和99 3 由此可见 对典型 阶系统 它的过渡过程时间大约为 3 5 T 到达稳态值的95 99 3 上一页 下一页 返回 2 30 2 4拉氏变换应用举例 例二 求典型 阶系统的单位斜坡响应典型一阶系统的微分方程为上式的拉氏式为由于为单位斜坡输入r t t 因此 代人上式有由上式有 上一页 下一页 返回 2 31 2 32 2 4拉氏变换应用举例 应用通分的方法 可求得待定系数A 1 B T 以待定系数代入式 2 32 有对上式进行拉氏反变换 由表2 1可查得各分式对应的原函数 于是可得由式 2 33 可画出如图2 5所示的典型一阶系统的单位斜坡响应曲线 由式 2 33 和图2 5可以看到 典型一阶系统的单位斜坡响应存在着 定的稳态误差 对照输出量c t 和输入量r t 可得系统的误差e t 上一页 下一页 返回 2 33 2 4拉氏变换应用举例 由上式可以看出 当时 误差e t 趋于T 即而称为稳态误差 详见第四章分析 由式 2 35 可见 时间常数越小 系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小 在分析随动系统时 通常以单位斜坡信号为典型输入信号 例如匀速转动时的角位移量便是斜坡信号 因此例2中的分析方法和结果对分析一般随动系统也有普遍的参考价值 上一页 下一页 返回 2 35 2 34 2 4拉氏变换应用举例 若输入量r t 为一单位阶跃函数 求下列二阶微分方程的输出量c t 解1 对式 2 36 进行拉氏变换 并以代入 得由上式有上式中 上一页 下一页 返回 2 36 2 37 2 4拉氏变换应用举例 2 为了通过查表求得c t 需将式 2 37 用部分分式法进行展开 为此 须先求出方程的根 不难求得此方程的一对根为由上式可见 对应不同的值 根的性质将是不同的 而对不同性质的根 展开部分分式的形式也将是不同的 现分别求解如下 1 当 无阻尼 零阻尼 时 特性方程的根 即为一对纯虚根时 式 4 37 可展开为 上一页 下一页 返回 2 38 2 4拉氏变换应用举例 应用通分的方法可求得待定系数A 1 B 1 C 0 代入上式有由表2 1可查得由式 2 39 可见 无阻尼时的阶跃响应为等幅振荡曲线 参见图2 6中的曲线 3 当 欠阻尼 时 特征方程的根是一对共轭复根 上一页 下一页 返回 2 4拉氏变换应用举例 通常令则这时 可将式 2 37 展开为下式 对求取待定系数和拉氏反变换都较为方便 应用通分的方法 可以求得待定系数A 1 B 1 代入上式有 上一页 下一页 返回 2 4拉氏变换应用举例 上一页 下一页 返回 2 4拉氏变换应用举例 由表2 1可查得 上一页 下一页 返回 2 4拉氏变换应用举例 于是对式 2 40 进行拉氏反变换可得 由式 2 41 知 对应不同的 可画出一簇阻尼振荡曲线 参见图2 6 由图2 6可见 愈小 振荡的最大振幅愈大 上一页 下一页 返回 2 41 2 4拉氏变换应用举例 当 临界阻尼 时 特征方程的根 是两个相等的负实根 重根 在出现重根时 可参照式 2 24 将式 2 37 展开如下式 上一页 下一页 返回 2 4拉氏变换应用举例 应用通分的方法可以求得待定系数A 1 C 1 代入上式可得由2 1可查得上式中各分式的原函数 上一页 下一页 返回 2 42 2 4拉氏变换应用举例 于是由式 2 42 可得由式 2 43 可画出如图2 6中所示的曲线 此曲线表明 临界阻尼