2-6函数的连续性.ppt

第六节函数的连续性 第一章 一 函数的连续性的概念 二 函数的间断点 四 小结思考题 三 初等函数的连续性 问题的提出 一天的气温是连续地变化着 体现函数的连续性 连续性是函数的重要性态之一 在实际问题中普遍存在连续性问题 从图形上看 函数的图象连绵不断 一 函数的连续与间断的概念 1 函数的增量 2 连续的定义 可见 函数 在点 1 在点 即 2 极限 3 连续必须具备下列条件 存在 有定义 存在 例1 证 由定义2知 3 单侧连续 定理函数在处连续等价于函数 在处既左连续又右连续 例2 解 右连续但不左连续 4 连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如 例如 在 上连续 有理整函数 又如 有理分式函数 在其定义域内连续 都有 只要 4 函数的间断点 在 在 1 函数 2 函数 不存在 3 函数 存在 但 不连续 设 在点 的某去心邻域内有定义 则下列情形 这样的点 之一函数f x 在点 虽有定义 但 虽有定义 且 称为间断点 在 无定义 例3 解 1 跳跃间断点 例4 2 可去间断点 解 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 如例4中 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 例6 解 3 第二类间断点 例5 解 注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点 例6 解 例如 1 连续函数的四则运算 二 连续函数的性质 例9 2 复合函数与反函数的连续性 复合函数的连续性 严格单调递增 递减 的连续函数必有严格单调递增 递减 的连续反函数 例如 反三角函数在其定义域内皆连续 反函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 1 初等函数仅在其定义区间内连续 在其定义域内不一定连续 例如 这些孤立点的去心邻域内没有定义 注意 3 初等函数的连续性 2 初等函数在连续点求极限可用代入法 三 利用函数的连续性求极限 直接利用函数连续性定义 利用复合函数的连续性 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 1 最值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值 即 设 则 使 或在闭区间内有间断 点 四 闭区间上连续函数的性质 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 推论 由定理1可知有 证 设 上有界 2 介值定理 零点定理 至少有一点 且 使 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 介值定理 设 且 则对A与B之间的任一数C 一点 证 作辅助函数 则 且 故由零点定理知 至少有一点 使 即 推论 使 至少有 在闭区间上的连续函数必取得介于 最小值与最 大值之间的任何值 例 证明方程 一个根 证 显然 又 故据零点定理 至少存在一点 使 即 说明 内必有方程的根 取 的中点 内必有方程的根 可用此法求近似根 二分法 在区间 内至少有 则 则 上连续 且恒为正 例2 设 在 对任意的 必存在一点 证 使 令 则 使 故由零点定理知 存在 即 当 时 取 或 则有 证明 四 小结 1 函数在一点连续必须满足的三个条件 3 间断点的分类与判别 2 区间上的连续函数 第一类间断点