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第二节极限的基本性质 第二章 一 收敛数列的性质 唯一性有界性保号性 保序性 4 收敛数列与其子列的关系 二 函数极限的性质 唯一性局部有界性局部保号性函数极限与数列极限的关系 第二章 一 收敛数列的性质 1 唯一性定理1 1 收敛数列极限的唯一性 即若 则必有 若极限 则极限唯一 用反证法 及 且 取 因 N1 N 使当n N1时 假设 即当n N1时 证法1 同理 因 故 N2 N 使当n N2时 有 从而 使当n N2时 有 则当n N时 矛盾 故假设不真 例1证明数列 是发散的 证用反证法 假设数列 收敛 则有唯一极限a存在 对于 则存在N 使当n N时 有 因此该数列发散 于是推得 矛盾 区间长度为1 这与 2 有界性 例如 有界 无界 即若 使 n 1 2 定理2 2 收敛数列的有界性 收敛的数列必定有界 证设 取 则 当 时 从而有 取 则有 即收敛数列必有界 有 注 有界性是数列收敛的必要条件 但不是充分条件 收敛有界 关系 例如 虽有界 但不收敛 数列 推论无界数列必发散 3 保号性 保序性 定理2 3 收敛数列的保号性 1 若 则 使当n N时 2 若 则a 0 恒有 且 对a 0 取 证 1 2 用反证法证明 注 如 推论2 3 保序性 使当n N时 恒有 2 若 时 有 证 用反证法 取 因 故存在N1 使当n N1时 假设 从而 当n N1时 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 则当n N时 便有 与已知矛盾 于是定理得证 当n N1时 4 收敛数列与其子数列的关系 1 子数列的概念 称为数列 xn 的一个子数列 或子列 例如 从数列 中抽出所有的偶数项 是其子数列 它的第k项是 组成的数列 2 收敛数列与其子数列的关系 定理2 4 也收敛 且 证设 的任一子数列 若 则 当 时 有 取正整数K 使 于是当 时 有 从而有 注 定理 1 某 收敛 例如 但 发散 2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 则原数列一定发散 例如 发散 二 函数极限的性质 1 唯一性定理2 1 函数极限的唯一性 2 局部有界性 如 2 若 则 X 0 函数f x 有界 3 局部保号性定理2 3 函数极限的局部保号性 1 如果 且A 0 则存在 A 0 2 如果 且存在 A 0 则 A 0 据此 可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号 据此 可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号 1 如果存在X 0 或 0 时 恒有 f x g x 或 推论2 3 函数极限的局部保序性 时 恒有 问题 若 f x g x 能否推出 例如 设 当x 0时 有f x g x 但是 不能 内容小结 1 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 保序性 任一子数列收敛于同一极限 2 函数极限的性质 唯一性 局部有界性 局部保号性 局部保序性 思考与练习 1 如何判断极限不存在 方法1 找一个趋于 的子
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