几种常见的曲面及其方程.ppt

几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线 机动目录上页下页返回结束 第四节曲面及其方程 即 动点为定点为 由两点间距离公式得 特别 当M在原点时 球面方程为 定值为R 表示上 下 球面 机动目录上页下页返回结束 一 几种常见的曲面及其方程1 球面 例1方程 表示怎样的曲面 解通过配方 把原方程写成 对比 1 式知 它表示球心在点 2 0 1 半径为 的球面 三 柱面 引例 分析方程 表示怎样的曲面 的坐标也满足方程 解 在xoy面上 表示圆C 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面 对任意z 平行z轴的直线l 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程 机动目录上页下页返回结束 定义3 平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成 的轨迹叫做柱面 表示抛物柱面 母线平行于z轴 准线为xoy面上的抛物线 z轴的椭圆柱面 z轴的平面 表示母线平行于 且z轴在平面上 表示母线平行于 C叫做准线 l叫做母线 机动目录上页下页返回结束 一般地 在三维空间 柱面 柱面 平行于x轴 平行于y轴 平行于z轴 准线xoz面上的曲线l3 母线 柱面 准线xoy面上的曲线l1 母线 准线yoz面上的曲线l2 母线 机动目录上页下页返回结束 定义2 一条平面曲线 3 旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面 该定直线称为旋转 轴 例如 机动目录上页下页返回结束 建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程 故旋转曲面方程为 当绕z轴旋转时 若点 给定yoz面上曲线C 则有 则有 该点转到 机动目录上页下页返回结束 思考 当曲线C绕y轴旋转时 方程如何 机动目录上页下页返回结束 例2将 面上的椭圆 分别绕 轴和 轴旋转 求所形成的旋转曲面方程 解绕轴旋转而成的旋转曲面方程为 即 即 绕轴旋转而成的旋转曲面方程为 例3求 面上的抛物线 绕x轴 旋转所形成的旋转抛物面 图7 28 的方程 解方程 中的x 不变 换成 便得到旋转抛物线的方程为 例4求 面上的直线 绕z轴 旋转一周而成的圆锥面的方程 解所求圆锥面的方程为 即 二 二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 研究二次曲面特性的基本方法 截痕法 其基本类型有 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 的图形通常为二次曲面 二次项系数不全为0 机动目录上页下页返回结束 1 椭球面 1 范围 2 与坐标面的交线 椭圆 机动目录上页下页返回结束 黄 绿 红 与 的交线为椭圆 4 当a b时为旋转椭球面 同样 的截痕 及 也为椭圆 当a b c时为球面 3 截痕 为正数 机动目录上页下页返回结束 2 椭圆抛物面 p q同号 特别 当p q时为绕z轴的旋转抛物面 机动目录上页下页返回结束 三 曲线1 曲线方程 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 例如 方程组 表示圆柱面与平面的交线C 机动目录上页下页返回结束 又如 方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C 机动目录上页下页返回结束 空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x y z表示成参数t的函数 称它为空间曲线的参数方程 例如 圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 称为螺距 机动目录上页下页返回结束 例5设一动点M 在圆柱面 上以角速度 绕z 轴旋转 同时又以线速度 沿平行于z 轴的正方 向上升 都是常数 则点M的几何轨迹叫做螺旋线 图7 34 试图建立其参数方程 解取时间t 为参数 设t 0 时动点在 处 动点在点 处 过点M 作xoy 面的垂线 则 垂足的坐标为 由于 是动点在时间t 内转过的角度 而线段 的长 是时间t内动 点上升的高度 所以经过时间t 得 从而 因此螺旋线的参数方程为 2 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去z得投影柱面 则C在xoy面上的投影曲线C 为 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 机动目录上页下页返回结束 例如 在xoy面上的投影曲线方程为 机动