19-(3)波函数 薛定谔方程.ppt

1 19 3波函数薛定谔方程 2 波函数 描述具有波粒二象性粒子的运动函数 一波函数 设一自由粒子 不受外力作用 则粒子作匀速直线运动 设沿X轴 其动量 能量保持恒定 恒定 恒定 从波动观点看来 这种波只能是单色平面波 3 自由粒子的波函数 从不确定关系来研究 沿整个X轴传播 波列长为 长 结论 自由粒子的德布罗意波是平面单色波 自由粒子的波函数 恒定 恒定 X 4 常写成复数 波函数为 5 当粒子沿着方向传播时 其中 注意 波函数一般要用复数表示 三维自由粒子的波函数 波函数 描述具有波粒二象性粒子的运动函数 Z X Y 6 二波函数的统计解释 波恩Born 代表什么 统一地看 粒子出现的几率正比 大量粒子的一次性行为和一个粒子多次性重复性行为是等价的 7 结论1 波函数所描述的是处于相同条件下 大量粒子的一次性行为和一个粒子多次性重复性行为是等价的 微观粒子遵循的是统计规律 不是经典的决定性规律 牛顿说 只要给出了初始条件 下一时刻粒子的轨迹是已知的 决定性的 量子力学说 波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点 只给出到达各点的统计分布 即只知道 2大的地方粒子出现的可能性大 2小的地方几率小 一个粒子下一时刻出现在什么地方 走什么路径是不知道的 非决定性的 8 结论2 某t时刻在空间某点r附近单位体积内粒子出现的几率与该时刻 该点波函数模的平方成正比 b 概率 t时刻粒子在体积元dV内出现的概率 a 概率密度 t时刻粒子在某r处单位体积内出现的概率 结论3 波函数所代表的波是几率波 在 2大的地方微观粒子出现多 2小的地方粒子出现少 粒子按波的形式去分配粒子的出现的几率 结论1 波函数所描述的是处于相同条件下 大量粒子的一次性行为和一个粒子多次性重复性行为是等价的 波函数的统计解释 9 例求一个能量为E 动量为P的自由粒子的几率密度 解 波函数为 上式与位置无关 在全空间粒子出现的几率一样的 10 物理学家问 滑雪者究竟是从哪条路过去的呢 11 少女 老妇 两种图象同时出现在你的视觉中了吗 老妇 少女 12 三波函数的性质 3 波函数是连续的 1 波函数是单值的 粒子在空间出现的几率只可能是一个值 2 满足归一化条件 Normalization 归一化条件 因为粒子在全空间出现是必然事件 波函数具有有限性 在空间是有限函数 波函数的标准条件 13 四薛定谔方程 薛定谔 ErwinSchrodinger 1887 1961 奥地利物理学家 1926年 在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文 在薛定谔讲完后 物理学家德拜 P Debey 评论说 认真地讨论波动 必须有波动方程 几个星期后 薛定谔又作了一次报告 开头就兴奋地说 你们要的波动方程 我找到了 这个方程就是著名的薛定谔方程 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程 它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的 同牛顿方程一样 薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到 而只能是一个基本的假设 其正确性也只能靠实验来检验 14 设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动 1自由粒子的Schr dinger方程 波函数为 1 式对t求导 1 式对x求二阶偏导数 15 自由粒子在低速下的总能量 自由粒子一维含时薛定谔方程 16 2势场中的薛定谔方程 若粒子处在势场中 势能为U x t 总能量 将 5 式看成一般情况下的特例 势场中的一维含时薛定谔方程 17 若为三维粒子 薛定谔方程为 12 引入拉普拉斯算符 三维含时薛定谔方程 势场中的一维含时薛定谔方程 18 3定态薛定谔方程 定态 势函数U不显含时间 几率分布也不随时间变化 令 E 等式左边是t的函数 右边是坐标的函数 但两边又相等 故等式左右两边均应与x y z t无关 现记为E 19 指数应是无量纲的数 的单位是 焦尔秒 故E的单位只能是能量 实际上是粒子总能量E E 定态薛定谔方程 20 若定态薛定谔方程已解出为 则粒子的波函数 注意 1 定态波函数为一空间坐标函数与一时间函数f t 的乘积 2 对于定态 除能量E有确定值外 其几率分布也不随时间变化 21 五薛定谔方程应用举例 一维无限深势阱 对此提出一个理想模型 粒子被限制在一个具有理想反射壁的方阱中 方阱中粒子可自由运动但在阱壁处受到强烈的反射 越出需无限大能量 此称无限深势阱 若是经典粒子 粒子如何运动 许多情况 粒子束缚在一个很小空间 束缚态 E可取任意值 且各处出现的几率一样 22 量子力学对粒子的分析 粒子满足一维定态薛定谔方程 粒子无法越过势阱 故只须考虑0 x a区间的波函数 令 23 通解 由边界条件 代入式 5 6 单值 连续性 24 由 7 式 B 0 由 8 式 代入式 5 定态波函数 含时波函数 25 由归一化条件得 定态波函数 含时波函数 26 能量公式 粒子出现的几率 含时波函数 重点 27 2 粒子在空间不同的地方出现的几率是不同的 结论 1 能量是量子化的 且无0值 能量最小值 波粒二象性的必然结果 含时波函数 28 E1 29 注意 1 粒子在势阱中不同地点出现的几率不一样 不同于经典物理学中的等几率分布 2 以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波 a 30 a 3 当a 时 能量可看成连续的 回到了经典力学情况 对应原理 E1 E2 E3 E4 O X a O X 31 作业 练习二十七 32 波函数 描述具有波粒二象性粒子的运动函数 波函数的统计解释 波函数的标准化条件 性质 1 单值的 2 归一的 3 连续的 结论1 某t时刻在空间某点r处粒子出现的几率与该时刻 该地点波函数模的平方成正比 结论2 波函数所描述的是处于相同条件下 大量粒子的一次性行为和一个粒子多次性重复性行为 结论3 波函数所代表的波是几率波 b 概率 t时刻粒子在体积元dV内出现的概率 a 概率密度 t时刻粒