二年级奥数知识点-第三讲·数形相映.pdf

杭州学而思二年级奥数知识点 每周一讲 李莹 第三讲 数形相映 知识点拨 一 数与形的基本对应关系 数数 形形 1 1 点点 2 2 线 两点连成一条直线线 两点连成一条直线 3 3 平面 三点确定一个平面平面 三点确定一个平面 4 4 立体 不在同一个平面上的四个点构成一个四面立体 不在同一个平面上的四个点构成一个四面 体体 二 数形奥秘 1 三角形数 用圆点按用圆点按 1 3 6 10 15 这些数可以堆垒成三角形 如这些数可以堆垒成三角形 如下下图图 1 3 6 10 1 3 6 10 1515 1 3 6 10 15 这些数这些数则则被称为被称为三角形数 每一个三角形数 都可以写成每一个三角形数 都可以写成从 1 开始的 n 个自然数之和 最大的自然数的自然数 就是三角形就是三角形底边圆点的个数 从圆点的堆垒规律发现 从圆点的堆垒规律发现 第第 1 1 个三角形数 个三角形数 1 11 1 第第 2 2 个三角形数 个三角形数 3 1 23 1 2 第第 3 3 个三角形数 个三角形数 6 1 2 36 1 2 3 第第 4 4 个三角形数 个三角形数 10 1 2 3 410 1 2 3 4 第第 5 5 个三角形数 个三角形数 15 1 2 3 4 515 1 2 3 4 5 杭州学而思二年级奥数知识点 每周一讲 李莹 第第 n n 个三角形数 个三角形数 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 n n 1 2 n n 自然数列前 自然数列前 n 项和 项和 2 四角形数 用圆点按四角形数可以堆用圆点按四角形数可以堆垒成正方形垒成正方形 如下图所示 如下图所示 第第 1 1 个个四角形四角形数 数 1 11 1 2 2 1 1 第第 2 2 个个四角形四角形数 数 4 24 2 2 2 1 3 1 3 第第 3 3 个个四角形四角形数 数 9 39 3 2 2 1 3 5 1 3 5 第第 4 4 个个四角形四角形数 数 16 416 4 2 2 1 3 5 7 1 3 5 7 第第 5 5 个个四角形四角形数 数 25 525 5 2 2 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 第第 n n 个个四角形四角形数 数 n n 2 2 1 3 5 9 1 3 5 9 2n2n 1 1 四角形数 又叫正方形数 可以表示成自然数的平方 也可以表示成从 1 开始的几个连续奇数之和 奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数 3 四面体数 四面体的每一层的圆点个数都是三角形数 如图所示如图所示 第第 1 1 个个四面体四面体数 数 1 1 1 1 杭州学而思二年级奥数知识点 每周一讲 李莹 第第 2 2 个个四面体四面体数 数 4 1 34 1 3 第第 3 3 个个四面体四面体数 数 10 1 3 610 1 3 6 第第 4 4 个个四面体四面体数 数 20 1 3 6 1020 1 3 6 10 第第 5 5 个个四面体四面体数 数 35 1 3 6 10 1535 1 3 6 10 15 第第 n n 个四面体数个四面体数 第第 1 1 个三角形数个三角形数 第第 2 2 个三角形数个三角形数 第第 n n 个三角形数个三角形数 4 五面体数 五面体的每一层的圆点个数都是四角形数 如图所示 第第 1 1 个个五面体五面体数 数 1 11 1 第第 2 2 个个五面体五面体数 数 5 1 45 1 4 第第 3 3 个个五面体五面体数 数 14 1 4 914 1 4 9 第第 4 4 个个五面体五面体数 数 30 1 4 9 1630 1 4 9 16 第第 5 5 个个五面体五面体数 数 55 1 4 9 16 2555 1 4 9 16 25 第第 n n 个五面体数个五面体数 第第 1 1 个四角形数个四角形数 第第 2 2 个四角形数个四角形数 第第 n n 个四角形数个四角形数 三 三 数与形的对应公式数与形的对应公式 22 21 1 nnn 例 数一数下列图形有几个圆点 图图 1 1 图图 2 2 图图 3 3 杭州学而思二年级奥数知识点 每周一讲 李莹 方法方法 1 1 先算空心点 再算实心点 先算空心点 再算实心点 2 2 2 2 2 2 2 12 1 3 3 2 2 2 2 3 13 1 4 4 2 2 2 2 4 14 1 方法方法 2 2 把点图看作一个整体来算 把点图看作一个整体来算 图图 1 1 9 9 个 图个 图 2 2 1616 个 图个 图 3 3 2525 个 个 点数不会因计数方法不同而变 所以得出 点数不会因计数方法不同而变 所以得出 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 1 4 1 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 1 5 1 5 2 2 把上面的几个等式连起来看 进一步联想下去 可以猜到一个一般的公式 把上面的几个等式连起来看 进一步联想下去 可以猜到一个一般的公式 22 21 1 nnn 注意 公式中 n 值为底边圆点的个数 1 利用这个公式 也可用于速算与巧算 利用这个公式 也可用于速算与巧算 如 如 9 9 2 2 2 2 9 1 9 1 9 19 1 2 2 102 100 102 100 9999 2 2 2 2 99 1 99 1 99 199 1 2 2 1002 10000 1002 10000 精选例题精选例题 例例1 1 1 1 第第 2525 个三角形数是个三角形数是 2 2 第第 5050 个三角形数是个三角形数是 3 3 第第 10001000 个三角形数是个三角形数是 杭州学而思二年级奥数知识点 每周一讲 李莹 例例2 2 1 1 第第 1010 个四角形数是 个四角形数是 2 2 第第 2525 个四角形数是 个四角形数是 3 3 第第 10001000 个四角形数是 个四角形数是 例例3 3 观察下列图形 你能发现什么 观察下列图形 你能发现什么 例例4 4 写出前写出前 1010 个四面体数个四面体数和和前前 1010 个五面体数 个五面体数 例例5 5 用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数 用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数 图图 a a 图图 b b 杭州学而思二年级奥数知识点 每周一讲 李莹 例题解析例题解析 例例 1 1 解析 解析 第第 N N 个三角形数为自然数列前个三角形数为自然数列前 N N 项和项和 1 1 第第 2525 个三角形数为自然数列前个三角形数为自然数列前 2525 项和即项和即 1 2 3 1 2 3 25 25 1 251 25 2525 2 3252 325 2 2 第第 5050 个三角形数为自然数列前个三角形数为自然数列前 5050 项和即项和即 1 2 3 1 2 3 50 50 1 501 50 5050 2 12752 1275 3 3 第第 10001000 个三角形数为自然数列前个三角形数为自然数列前 10001000 项和即项和即 1 2 3 1 2 3 1000 1000 1 10001 1000 10001000 2 5005002 500500 例例 2 2 解析 解析 第第 N N 个四角形数为个四角形数为 N N 2 2或自然数列奇数项前 或自然数列奇数项前 N N 项和项和 1 1 第第 1010 个四角形数为个四角形数为 1010 2 2 100 100 或或 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 191 19 1010 2 1002 100 2 2 第第 2525 个四角形数为个四角形数为 2525 2 2 625 625 或或 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 49 25 49 25 2 2 625 625 3 3 第第 10001000 个四角形数为个四角形数为 1000 10000001000 1000000 或或 1 3 5 7 1 3 5 7 1999 1 1999 1999 1 1999 10001000 2 10000002 1000000 例例 3 3 解析 解析 四角形数四角形数 1 4 9 16 251 4 9 16 25 三角形数三角形数 1 1 3 3 6 6 10 10 151 1 3 3 6 6 10 10 15 从图中可以发现 从图中可以发现 第第 2 2 个四角形数个四角形数 第第 1 1 个三角形数个三角形数 第第 2 2 个三角形数个三角形数 第第 3 3 个四角形数个四角形数 第第 2 2 个三角形数个三角形数 第第 3 3 个三角形数个三角形数 第第 4 4 个四角形数个四角形数 第第 3 3 个三角形数个三角形数 第第 4 4 个三角形数个三角形数 第第 5 5 个四角形数个四角形数 第第 4 4 个三角形数个三角形数 第第 5 5 个三个三角形数角形数 总结规律即总结规律即 第第 n n 个四角形数个四角形数 第 第 n n 1 1 个三角形数 个三角形数 第第 n n 个三角形数个三角形数 例例 4 4 解析 解析 四面体数公式 第第 n n 个四面体数个四面体数 第第 1 1 个三角形数个三角形数 第第 2 2 个三角形数个三角形数 第第 n n 个三角形数个三角形数 第第 1 1 个四面体数个四面体数 1 1 第第 2 2 个四面体数个四面体数 1 3 4 1 3 4 第第 3 3 个四面体数个四面体数 1 3 6 10 1 3 6 10 第第 4 4 个四面体数个四面体数 1 3 6 10 20 1 3 6 10 20 杭州学而思二年级奥数知识点 每周一讲 李莹 第第 5 5 个四面体数个四面体数 1 3 6 10 15 35 1 3 6 10 15 35 第第 6 6 个四面体数个四面体数 1 3 6 10 15 21 56 1 3 6 10 15 21 56 第第 7 7 个四面体数个四面体数 1 3 6 10 15 21 28 84 1 3 6 10 15 21 28 84 第第 8 8 个四面体数个四面体数 1 3 6 10 15 21 28 36 1 3 6 10 15 21 28 36 120 120 第第 9 9 个四面体数个四面体数 1 3 6 10 15 21 28 36 45 165 1 3 6 10 15 21 28 36 45 165 第第 1010 个四面体数个四面体数 1 3 6 10 15 21 28 36 45 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 22055 220 五面体数公式 第第 n n 个五面体数个五面体数 第第 1 1 个四角形数个四角形数 第第 2 2 个四角形数个四角形数 第第 n n 个四角形数个四角形数 第第 1 1 个五面体数个五面体数 1 1 第第 2 2 个五面体数个五面体数 1 4 5 1 4 5 第第 3 3 个五面体数个五面体数 1 4 9 14 1 4 9 14 第第 4 4 个五面体数个五面体数 1 4 9 16 30 1 4 9 16 30 第第 5 5 个五面体数个五面体数 1 4 9 16 25 55 1 4 9 16 25 55 第第 6 6 个五面体数个五面体数 1 4 9 16 25 36 91 1 4 9 16 25 36 91 第第 7 7 个五面体数个五面体数 1 4 9 16 25 36 1 4 9 16 25 36 49 14049 140 第第 8 8 个五面体数个五面体数 1 4 9 16 25 36 49 64 204 1 4 9 16 25 36 49 64 204 第第 9 9 个五面体数个五面体数 1 4 9 16 25 36 49 64 81 285 1 4 9 16 25 36 49 64 81 285 第第 1010 个五面体数个五面体数 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385 例例 5 5 解析解析 解法解法 1 1 见图 见图 a a 和图 和图 b b 图图 a a 方法方法 1 1 分 分 4 4 块数 块数 2 2 2 2 2 2 2 2 3 33 3 2 2 方法方法 2 2 看成一个整体 看成一个整体 2 32 3 2 2 点的总数不变点的总数不变得等式 得等式 2 2 2 2 2 2 2 2 3 33 3 2 2 2 32 3 2 2 图图 b b 方法方法 1 1 分 分 4 4 块数 块数 3 3 2 2 2 2 3 3 4 44 4 2 2 方法方法 2 2 看成一个整体 看成一个整体 3 43 4 2 2 得等式 得等式 3 3 2 2 2 2 3 3 4 44 4 2 2 3 43 4 2 2 进一步猜出一般公式 进一步猜出一般公式 a a 2 2 2 2 a a b bb b 2 2 a ba b 2 2 解法解法 2 2 由数形关系公式由数形关系公式 22 21 1 nnn 可以直接算出图中圆点的个可以直接算出图中圆点的个 数即 数即 图图 a a 中中边上点的个数为边上点的个数为 5 5 则则 n n 值为值为 4 4 圆点个数为圆点个数为 4 4 2 2 2 2 4 1 4 1 4 14 1 2 2 25 25 图图 b b 中中边上点的个数为边上点的个数为 7 7 则则 n n 值为值为 6 6 圆点个数为圆点个数为 6 6 2 2 2 2 6 1 6 1 6 16 1 2 2 49 49 杭州学而思二年级奥数知识点