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20072008学年第二学期期中考试试题数学分析（下）2008年4月27日一 填空题(每小题4分, 共20分)1. 级数 的收敛域是 .2. 设函数在上的Fourier级数为：, 则 , = , = .3. 函数在点处，沿着从点到点方向的方向导数为 .4. = .5. 曲线在点处的法平面为 .二 选择题（每小题4分, 共20分）1. 设 是定义在区间I上的函数列，与“函数项级数在区间I上一致收敛”等价的论断是 .( )A当，对一切,都有 ;B当，对一切, 都有 ;C函数列在I上一致收敛于0;D对每一给定的，当，都有2. 设在的某一个邻域内有定义，则下述论断正确的是.( )A若在处连续，则一定存在; B若存在,则在处连续;C若存在,则在处沿任意方向的方向导数一定存在;D若存在且连续, 则在处连续.3. 设，下列叙述中不正确的是.( )A如果是一个列紧集，则必是一个有界闭集;B开集，则有;C若是闭集，则中的所有的点都是的凝聚点;D若是开集，则中的所有的点都是的凝聚点.4. 下列广义积分收敛的是 .( ) A; B; C; D. .5. 方程的通解为.( )A. ; B. ; C. ; D. .三、（10分）求幂级数的和函数并指明其定义域.四、（10分）求方程的通解.五、（10分）设广义积分为，其中，试证明（1）当时，积分绝对收敛，（2）当时, 积分条件收敛.六、（10分）设具有二阶连续偏导数，且, 求.七、（10分）要设计一个容量为4的长方形开口水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？并求出其表面积？八、（10分）设 1) 求偏导数，并讨论偏导数在处的连续性?2) 讨论函数在处的可微性?2/52007-2008数学分析（下）期中考试参考答案一. 填空1. 2. , , = 0 3. 4. 5. 二选择 1B 2. D 3. C 4. B 5. B 三解： 级数的收敛半径是,当时级数发散，所以定义域为 3分设 ，逐项积分，得到 7分所以 10分四. 解： 特征方程 的特征根为： 3分所以对应齐次方程通解为： 5分不是方程的根，设为方程的一个特解，带入方程得， 所以 所以 8分所以通解为： 10分五、解：（1）当时，而 收敛，所以原积分绝对收敛。 3分（2）当时，在上有界；当时单调递减趋近于零，所以收敛。 7分而，后一项收敛，前一项发散，所以发散，条件收敛。 10分六、解： 4分 10分七、解：设长，宽，高分别为，则表面积为，体积为.问题变为在条件下的最小值问题. 2分令由 5分得 8分由于无最大值,且最小值必存在，所以它为最小值点. 9分最小值为. 10分八、解：1. 由定义 3分 由于极
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