经济理论中的最优化方法-第一章.pdf

经济经济理论中的最优化方法理论中的最优化方法 主讲人 马会强huiqiangma 教材 阿维纳什 K 迪克西特 第一章第一章 导论导论 经济学研究的主要内容 最优的利用稀缺 资源 即 在约束条件下最大化 所有约束条件下的最大化问题有一个共同 的数学结构 这一数学结构又反过来为分 析这些问题提供了一个共同的经济学直觉 消费者选择模型 预算线 所有支付得起的两种商品的组合 无差异曲线 代表了目标 即要达到尽可能 高的曲线 最 优 选 择 预 算 线 与 无 差 异 曲 先 的 相 切 之 处 消费者的货币收入 I 商品的价格 1 p 2 p 商品的数量 1 x 2 x 预算线 1 122 p xp xI 1 1 消费者对两种商品数量的偏好 12 U x x 无差异曲线 12 U x x 常数 1 2 曲线相切 相切处斜率相等 1 1 套利方法 套利方法 从预算的任意一个实验性的配置开始 考虑一个变动 在预算线上变动 如果变动产生了一个更高效用的消费束 那么就 将它作为一个新的实验性配置而被消费者采取 一旦发现某个消费配置已经无法用这种方法来改 进 那么它就是最优配置 最优化的检验条件 不可能再找到一个改进 由于是在预算线上变动 不会造成额外的支出 仅仅是某一数量的货币从购买一种商品转到另 一种商品的重新配置 如果最初的配置不是最优的 变动可以提高效 用 如果是最优的 变动不会提高效用 整个推理过程记为 套利方法套利方法 由此推导的 最优条件称为 无套利条件无套利条件 变量x的 一个微小的变动 这里 假定商品是可分的 dx 首先 假定最初配置 1 0 x 2 0 x 现在考虑一个小的套利操作 将少量但是数量 为正的收入 从商品2转到商品1进行边际上 的再配置 这意味着 多购买 单位的商品1 少购买 单位的商品2 dI 1 dI p 2 dI p 两种商品的边际效用 1 MU 2 MU 这意味着商品1数量上的变动 改变了 个单 位的效用 商品2的变动 导致了 个单位的 效用变化 总效用的变化为 1 dx 11 MU dx 2 dx 22 MU dx 1122 MU dxMU dx 1 3 注意 任何一个边际调整都是如此之小 以至于整个 过程中边际效用自身的变化忽略不计 2121 xxMUMU特别的 如果 增加 和 减少 就会下降 这就是边际替代率递减原理 套利操作对效用的影响可以写成 1122 MUpMUpdI 如果这个式子的值为正 消费者就有动机实行这个在 配置 并试图做出相同方向上的进一步的再配置 如果最初的消费配置是最优的 表达式的值不可能为 正 因此 可以将 无套利标准 写成 1122 0MUpMUp 1 4 如果 1 4 的左边大于0 那么把一些支出转到商品 1上是值得的 这种转移一直进行到使得 1 4 左式为零 类似的 考虑一个相反方向的再配置 可以得到 如 果最初配置是最优的 必然有 1122 0MUpMUp 1 5 将这两个 无套利标准 合写成一个 得到完整的 无套利条件 如果数量均为正的配置是最优的 那么在这点处边际效用必须满足 1122 MUpMUp 1 6 经济解释 在最优选择处消费者对于将额外一单位的 货币收入配置给任何一种商品是无差异的 1 2 相切条件 复杂而常用的导出相同的最优性条件的方法 是基于 预算方程 1 1 所表示的预算线和效用函数 1 2 所表示的无差异曲线的相切 预算方程改写为 22112 xI pxpp 预算线的斜率的数值为 12 pp 无差异曲线的斜率是边际替代率 MRS 等于边 际效用的比率 12 MUMU 无差异曲线的斜率是边际替代率 MRS 等于边 际效用的比率 12 21 dxdx dxdx 如果 单位的商品1的边际损失恰好被单位的商品2 的边际收益所补偿 那么边际替代率就是 即 1122 MU dxMU dx 21 12 dxMU MRS dxMU 1 7 在最优选择处 无差异曲线的斜率等于预算线的斜 率 因而 11 22 MUp MUp 1 8 12 MUMU 1 3 套利方法优点 角点解 套利方法在其中一种商品根本不被购买的情形下更 容易被采用 这种情况发生在预算线的顶端 这样 的最优选择通常称为角点解 2 0 I p 1122 0MUpMUp 1 4 1 4 套利方法优点 收入的边际效用 两种商品最初都被购买 最优化标准 1122 MUpMUp 1 6 1 11 dI dI p MU dI p 假定消费者获得额外的数量为 的收入用于消费 若全部用来消费商品1 则消费额外的单位 的商品1 并取得额外的单位的效用 2 22 dI p MU dI p 若全部用来消费商品2 则消费额外的单位 的商品2 并取得额外的单位的效用 由 1 6 式可知 这两个效用的增量必须相等 因而 在边际上可以将无穷小量的额外收入进行任意配置 于是 把每单位额外收入所带来的效用的增量简单 地称为收入的边际效用收入的边际效用 并记一单位额外收入的边 际效用为 1122 MUpMUp dIdI 单位的额外收入增加了单位的效用 1 9 最优化标准 1 6 两边相等的值的经济解释 他是收 入的边际效用 所有约束条件下最优化问题的无套利条件 都可能有 一个类似的解释 1 5 套利方法优点 多种商品和多个约束条件 可以很容易的将分析扩展到多种商品 并且某些商品 可能根本不被消费的情形 11 nn nppxx假定有 中商品 价格为 数量为 对于所有在最优时都被购买了正的数量的商品 边际 效用对价格的比例必定有一个相同的值 这个值可以 被解释为收入的边际效用 对于所有在最优时都没有被购买的商品 边际效用对 价格的比例必定小于或至多等于这个值 将结果用公式表示 即为 ii MUp 0 i x 0 i x 0 0 ii MUp 0 i x 0 i x 1 10 套利方法也可以扩展到允许有多个约束条件的情形 对于每个约束条件 需要一个单独的 它可以被解释 为放松那个约束条件的边际效用 1 6 套利方法优点 非紧的约束条件 最后 考虑一个与消费者理论并不非常相关的扩展 但这一扩展在其他应用中是非常重要的 设想一个消费者有如此之多的收入以至于他心满意足 并且无法花光所有收入 那么预算方程 1 1 应该是 1 122 p xp xI 3 3 x x 通过定义一种新商品 可以将这种情形纳入到 前述分析中 是 没有被花掉的收入 其价格 为1并且不产生效用 那么预算方程变为 1 1223 p xp xxI 3 0MU 3 x由于消费者选择了一个正的 由 1 10 可知