统计物理中常用的级数和积分.pdf

收稿日期 2001 11 28 修回日期 2002 09 05 作者简介 杨铮 1979 男 江苏南京人 南京大学物理系硕士生 第 22 卷第 4 期大 学 物 理Vol 22 No 4 2003 年 4 月COLLEGE PHYSICSApr 2003 统计物理中常用的级数和积分 杨 铮 南京大学 物理系 江苏 南京 210093 摘要 给出了级数 E n 1 1 n2和 E n 1 1 n4的求解方法 给出了 Boltzmann 统计 Fermi Dirac 统计和 Bose Einstein 统 计中常用的一些积分的普遍求解方法 并将公式化的结果加以系统地归纳 关键词 x 函数 F x 函数 Bose 积分 Boltzmann 积分 Fermi 积分 中图分类号 O 414 2 文献标识码 A 文章编号 1000 0712 2003 04 0025 04 1 引言 在统计物理中我们经常遇到一些特定形式的级数 和积分 比如说级数 E n 1 1 n 2和E n 1 1 n4 概率积分 以及 在运用 Boltzmann 统计 Fermi Dirac 统计和 Bose E instein 统计时常常遇到的一些积分 在很多统计物理 书的附录中都给出了这些级数和积分的答案以及部分 计算方法 1 3 但是往往不全面 尤其是计算方法不 全 而关于这两个级数求解的过程更是很少在统计物 理的书中给出 在计算 Fermi 统计和 Bose 统计中的积 分时由于需要用到上面两个级数以及其他一些类似的 级数 并且这两个级数的求解方法其实是同一类型的 所以掌握这两个级数的求解方法是很有必要的 另外 上面的这些级数和积分同特殊函数 x 和 F x 还有 着联系 本文将详细地阐明它们之间的关系 从而通过 这两个特殊函数使级数和积分的求解统一化和简单 化 本文将在简单回顾特殊函数 x 和F x 的定义 和性质的基础上 全面地给出上面所提到的级数和积 分求解方法与答案 并将其归纳分类 总结得到一些公 式化的结果 以便于今后运用和参考 2 x 函数和F x 函数的简单回顾 x 函数的定义式如下 x SQ 0 e ttx 1dt x 0 1 由于 x 1 Q 0 e ttxdt Q 0 txde t txe t 0 Q 0 e tdtx xQ 0 e ttx 1dt x x 故可以得到 x 函数最重要的性质之一 即 x 1 x x 2 而当 x 为自然数 n 时 显然可以简单地递推得到 n 1 n 3 并不是对于一切在定义范围内的 x 值 x 函数均能 求出解析值的 往往需要借助数值计算求解 但当 x 为 自然数或半奇数 后面将提到 时 x 是可以求出解 析值的 并且这两种情况也是我们运用最多的 特别是 在本文中 F x 函数的定义是 F x S E n 1 1 nx x 1 4 同 x 函数一样 并不是所有 F x 函数均有解析值 的 不过当 x 为偶数时 F x 是有解析值的 并具有一 通式求解 但其证明和推导十分复杂 本文不进行讨 论 读者可以参看文献 4 我们常用的仅是 x 2m m 1 和 m 2的两种情况 即前面提到的两个级数 在后文中将会介绍这两个级数不采用通式的简单求解 方法 3 级数E n 1 1 n2和 E n 1 1 n4 3 1 级数 E n 1 1 n2 P2 6 和 E n 1 1 n 11 n2 P 2 12 的求解 过程 将 f x x 2 以 cos nx 为基在区间 P P 上作 Fourier 展开 得 f x a0 2 E n 1 ancos nx x I P P 5 其中的展开系数如下 a0 1 PQ P Pf x dx 2 PQ P 0 x 2dx 2P 2 3 an 1 PQ P Pf x cos nxdx 2 PQ P 0 x 2cos nxdx 4 n2cos nP 1 n4 n 2 从而可得 f x x 2 P 2 3 E n 1 1 n4 n2cos nx x I P P 6 令 x P 则有 P 2 P 2 3 E n 1 1 n4 n2 1 n 故 F 2 E n 1 1 n2 P2 6 7 令式 6 中 x 0 则有 0 P 2 3 E n 1 1 n4 n2 则 E n 1 1 n 11 n2 P2 12 8 3 2 级数 E n 1 1 n4 P2 90的求解过程 类似于上面的方法 我们将 g x x 4 以 cos nx 为基在区间 P P 上作 Fourier 展开 可得 g x x 4 P 4 5 8 E n 1 1 nP2 n 2 6 n4 cos nx x I P P 9 令 x P 则有P 4 P 4 5 8P 2 E n 1 1 n2 48 E n 1 1 n4 再结合 式 7 便可得 F 4 E n 1 1 n4 P4 90 10 令 x 0 还可得 E n 1 1 n 11 n4 7P 4 720 上面这种方法实际给出了求形如 E n 1 1 n2m 和 E n 1 1 n 1 n2m 的级数的通用解法 但是由于随 m 的增大 计算量将不断增加 且 m 2 的级数也很少用到 所以 就不必继续往后讨论了 有些书中还给出了另外一种 求级数 E n 1 1 n2和 E n 1 1 n4的方法 5 不过较本文给出的 方法要复杂一些 但仍然比文献 4 中的通式简单 有 兴趣的读者可以去参看 4 概率积分Q 0 e x 2dx P 2 的证明及和 1 2 的关系 4 1 概率积分Q 0 e x 2dx P 2 的证明 首先由 Q 0 e x 2 dx 2 Q 0 e x 2dxQ 0 e y 2 dy Q 0Q 0 e x 2 y2 dx dy 采用极坐标换元 令 x r cos H y rsin H 则 dxdy rdrdH 可得 Q 0 e x 2dx 2 Q P 2 0Q 0 e r 2 rdr dH 1 2Q P 2 0 dHQ 0 e r 2d r 2 P 4 所以 Q 0 e x 2dx P 2 11 4 2 概率积分Q 0 e x 2dx P 2 和 1 2 的关系 在 x 函数的定义式 1 中令 t u 2 可得 x Q 0 e u 2 u 2 x 1 d u2 2Q 0 e u 2 u2x 1du 当 x 1 2时 有 1 2 2Q 0 e x 2dx P 12 利用递推公式 2 可得所有半奇整数的求解公式 n 1 2 n 1 2 n 3 2 3 2 1 2 P 2n 1 2 n P n I N 13 其中定义双阶乘 2n 1 S 1 3 2n 3 2n 1 5 Boltzmann 统计中常用到的积分 本文将 Boltzmann 统计中常用到的积分 统称为 Boltzmann 积分 且限定积分参数 A 0 下面分两种情 况讨论 Boltzmann积分 5 1 积分Q 0 e A x 2dx 1 2 P A 的证明 26大 学 物 理 第 22卷 由概率积分的表达式 11 容易求得 Q 0 e A x 2dx 1 AQ 0 e A x 2d Ax 1 2 P A 14 5 2 积分Q 0 x ne A x2dx 的求解 该积分在 n 为奇数和偶数时分别需要不同的求解 方法 下面分两种情况讨论 当 n 2k 1 k 0 1 2 时 Q 0 x 2k 1e A x2dx k 2A k 1 15 其证明很简单 只要作适当的变换并利用式 1 和式 3 即可得到 即 Q 0 x2k 1e A x 2 dx 1 2A k 1Q 0 e A x 2 A x 2 kd A x2 k 1 2A k 1 k 2A k 1 当 n 2k k 0 1 2 时 Q 0 x2ke A x 2dx 2k 1 2k 1A k P A 16 该式的证明较上一种情况要复杂一些 要用到如下一 些递推关系 记 I 2k SQ 0 x2ke A x 2dx 观察到其满足下式 I 2k 5I 2k 2 5A 17 即 I 2k 1 k5 kI 0 5A k 18 而由于 I 0 SQ 0 e A x 2dx 1 2 P A 因此便有 I 2k 1 k5 kI 0 5A k 1 k5 k 5A k 1 2 P A P 2 1 k5 k 5A k A 1 2 P 2 1 k 1 2 3 2 2k 1 2 A 2k 1 2 2k 1 2k 1A k P A 6 Bose Einstein 统计中常用到的积分 在运用 Bose Einstein 统计时 我们常常碰到如下 形式的积分 B n Q 0 x n 1 ex 1dx n 1 19 在本文中该积分被称为 Bose 积分 下面将给出 Bose 积 分的具体求解方法 首先 根据几何级数的求和公式可得 1 ex 1 e x 1 e x E m 1 e mx x 0 20 从而可以将式 19 化简为 B n Q 0 xn 1 ex 1dx Q 0 e x 1 e xx n 1dx Q 0 E m 1 e mxxn 1dx E m 1Q 0 e mxxn 1dx E m 1 1 m nQ 0 e mx mx n 1d mx E m 1 1 m n n F n n 21 当 n 为整数时有 B n E m 1 1 mn n 1 22 其中最常用的是 n 2 和 n 4 时的情形 即 B 2 Q 0 x ex 1dx F 2 2 E m 1 1 m 2 P 2 6 23 B 4 Q 0 x3 ex 1dx F 4 4 E m 1 1 m 4 3 P2 90 6 P 2 15 24 有时也会用到 n 3 2和 n 3 的情况 其结果为 B 3 2 Q 0 x 1 2 ex 1dx F 3 2 3 2 E m 1 1 m 3 2 3 2 U 2 612 P 2 25 B 3 Q 0 x3 ex 1dx F 3 3 E m 1 1 m 3 3 U 1 202 2 7 Fermi Dirac统计中常用到的积分 在运用 Fermi Dirac 统计时 我们常常碰到如下 形式的积分 F n Q 0 x n 1 ex 1dx n 1 26 在本文中该积分被称为 Fermi 积分 下面将给出 Fermi 积分的具体求解方法 类似 Bose 积分的求解 首先 根据几何级数的求和 公式得 1 ex 1 e x 1 e x E m 1 e x m E m 1 1 me mx x 0 27 从而可以将式 26 化简为 27第 4 期 杨 铮 统计物理中常用的级数和积分 F n Q 0 x n 1 ex 1dx Q 0 E m 1 1 me mx x n 1dx E m 1Q 0 1 me mxxn 1dx E m 1 1 m mn Q 0 e mx mx n 1d mx E m 1 1 m 1 m n n 28 当 n 为整数时有 F n E m 1 1 m 1 m n n 1 29 其中常用的是 n 2 时的情况 即 F 2 Q 0 x ex 1dx E m 1 1 m 1 m2 2 P 2 12 30 另外 除以上讨论的这些积分之外 我们在固体物 理中运用 Bose 统计和 Fermi统计来求固体比热和 Fer mi 能级等问题时 还常常遇到形如Q 0 xnex ex 1 2 dx 的 积分 我们可以通过分部积分将其化为 Fermi 积分或 Bose 积分 其过程如下 Q 0 xnex ex 1 2dx Q 0 xnd 1 ex 1 xn ex 1 0 Q 0 nx n 1 ex 1 dx nQ 0 xn 1 ex 1dx 31 8 小结 文中的式 14 16 式 22 29 和 31 是公式 化的结果 是本文的重要结论 并且在推导过程中给出 了一类问题的普遍解法 而式 7 8 10 23 24 25 和 30 是具体结果 尤其常用 在固体物理 和统计物理中可以直接代用 本文写于作者大学三年级学习5热力学统计物 理6期间 参考文献 1 汪志诚 热力学 统计物理 M 第 2 版 北京 高等教育 出版社 1993 附录C 2 Benjamin G L Theoretical Physics Volume 2 M Am sterdam North Holland Publishing Company 1971 AP PENDIX 3 钱平凯 热力学与统计物理 下册 M 北京 电子工业 出版社 1991 附录四 4 王竹溪 郭敦仁 特殊函数论 M 北京 北京大学出版 社 2000 110 114 5 Binpin K A Melwein E Statistical Mechanics M New Delhi Wiley s Eastern Limited 1988 258 260 Frequently used progression and integrals in statistical physics YANG Zheng Department of Physics Nanjing University Nanjing Jiangsu 210093 China Abstract The calculating methods of expressions E n 1 1 n2 and E n 1 1 n 4and the generalized solving methods of some frequently used integrals in Boltz