2007数学物理方法A卷答案及评分标准.pdf

第 1 页 共 6页 南昌大学南昌大学 2006 2007 学年第二学期期末考试试卷学年第二学期期末考试试卷 试卷编号 试卷编号 6029 A 卷答案及评分标准 卷答案及评分标准 课程编号 课程编号 H55020190 课程名称 课程名称 数学物理方法 数学物理方法 考试形式考试形式 闭卷 闭卷 适用班级适用班级 05 物理 应物与光信息 物理 应物与光信息 姓名 姓名 学号 学号 班级 班级 学院 学院 专业 专业 考试日期 考试日期 题号 题号 一 一 二 二 三 三 四 四 五 五 六 六 七 七 八 八 九 九 十 十 总分 总分 题分题分 42 50 8 100 累 分 人 累 分 人 签签名 名 得分得分 考生注意事项 1 本试卷共 6 页 请查看试卷中是否有缺页或破损 如有立即举手报告以便更换 2 考试结束后 考生不得将试卷 答题纸和草稿纸带出考场 一 填空题 每小题 3 分 共 42 分 得分 得分 评阅人评阅人 1 复数 i z 的指数式为 2 3 i e 2 dx x x 3 8 9 3 27 3 复数 1 1 i i z 可简化为 i 4 拉普拉斯方程 0 u 在直角坐标系中的表达式为 0 2 2 2 2 2 2 z u y u x u 5 y x iv y x u z f 可导 必满足 柯西 黎曼 条件 这个条件的数学表达式 为 y v x u x v y u 6 在 1 p p p 第 2 页 共 6页 9 数学物理方程定解问题的适定性是指 解是存在的 唯一的和稳定的 10 一根两端 左端为坐标原点而右端 l x 固定的弦 用手在离弦左端四分之一处把 弦朝横向拨开距离 h 然后放手任其振动 横向位移 t x u 的初始条件为 0 0 u 4 3 4 0 4 0 4 0 t x l x l l x l h x u l x l hx x u 和 11 偏微分方程 0 1 6 2 2 3 xy u u u u u y x yy xy xx 的类型为 椭圆型 12 若解析函数 z f 的实部为 2 2 y x 则其虚部为 B 其中C为常数 A C xy 2 B C xy 2 C C y x 2 2 D C y x 2 2 13 复变函数 53 2 4 zi f z zz 有 D A 两个单极点和一个三阶极点 B 一个单极点 一个可去极点和一个三阶极点 C 两个单极点和一个二阶极点 D 一个单极点和一个三阶极点 14 判断下面的说法是否正确 正确的在题后的 中打 错误的打 1 若函数 z f 在z 点解析 则函数 z f 在z 点可导 反之亦然 2 0 6 2 y x y x xy u u xu yu u 是二阶齐线性偏微分方程 3 在洛朗展开中 虽然洛朗级数中存在 0 z z 的负幂项 但展开中心 0 z 不一定是被展 开函数的奇点 二 求解题 每小题 10 分 共 50 分 得分 得分 评阅人评阅人 说明 1 需给出必要的文字说明和演算过程 2 本题第 5 6 7 小题按专业只做其中一题只做其中一题 注意 a 物理学与应用物理学专业考生只能在第 5 6 题中任选一题完成 b 光信息专业考生则必须完成第 7 题 第 3 页 共 6页 1 1 用留数定理计算积分 3 2 2 1 z z z dz 解 被积函数 2 2 1 1 z z z f 在积分围线内有两个极点 单极点 1 z 两阶极 点 2 z 2 2 分 分 留数分别为 1 1 lim 1 Res 1 z f z f z 3 3 分 分 和 1 1 1 lim 2 1 2 1 lim 2 Res 2 2 2 z dz d z f z dz d f z z 3 3 分 分 根据留数定理得 0 2 Res 1 Res 2 2 1 3 2 z f f i z z dz 2 2 分 分 2 2 解常微分方程初值问题 0 0 0 1 3 2 2 2 y y y dt dy dt y d 注 可使用拉普拉斯 变换 或其它任何方法 解 拉普拉斯变换得 p p y p y p p y p 1 3 2 2 3 3 分 分 所以 p p p p p p p p p p y 3 1 1 1 4 1 3 1 12 1 1 3 1 3 2 1 2 4 4 分 分 逆变换得 3 1 4 1 12 1 3 t t e e t y 3 3 分 分 第 4 页 共 6页 3 设 x X 满足方程 0 X X 和边界条件 0 0 l X X 其中 可为任意实数 试根据 的可能取值求解方程 并根据边界条件确定本征值 解 可分为三种情况讨论 1 0 解为 sin cos 2 1 x C x C x X 代入边界条件得 0 sin 0 0 sin cos 0 2 1 2 1 1 l C C l C l C C a 当 的取值使得 0 sin l 时 必有 0 2 C 这和上两种情况一样没有意义 b 当 的取值使得 0 sin l 时 C 2 不必为零 这种是有意义的情况 此时 由 0 sin l 得到本征值 3 2 1 2 2 2 L n l n n l 此时 本征解为 sin 2 x l n C x X 5分 5分 4 试写出达朗贝尔公式 并求解偏微分方程 0 xx tt u u 初始条件为 x x u u t t t sin 0 0 0 解 若方程 0 2 xx tt u a u 的初始条件为 0 0 x u x u t t t 则其解为 d a at x at x t x u at x at x 2 1 2 1 2 1 此即达朗贝尔公式 4分 4分 本题中 1 a 0 x x x x sin 则 t x t x t x t x t x t x d d d t x u t x t x t x t x t x t x t x t x sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 6 6 分 分 第 5 页 共 6页 注意注意 以下 以下 5 5 6 6 7 7 小题按专业只做一题 小题按专业只做一题 物理学与应用物理学专业的考生只能从 物理学与应用物理学专业的考生只能从 5 5 和 和 6 6 两小题中任选一题完成 光信息专业的考生则必须完成第 两小题中任选一题完成 光信息专业的考生则必须完成第 7 7 小题 小题 我是物理学或应用物理学专业的考生 选做 我是物理学或应用物理学专业的考生 选做 题 题 5 用留数定理计算实积分 2 0 cos 2 x dx 解 1 1 2 1 1 2 0 3 2 3 2 2 1 4 2 2 2 cos 2 z z z z z dz i z z dz i z z iz dz x dx 2 2 2 6 2 2 2 6 分 分 根据留数定理得 3 2 3 2 3 2 1 2 2 3 2 Res 2 cos 2 2 0 i i f i x dx 2 1 1 4 2 1 1 4 分 分 6 解偏微分方程 常数 a 均为正数 0 0 sin 2 t xx tt u u t t u a u 解 做未知函数变换将方程齐次化 令 2 sin t v u 代入方程和初始条件得 0 2 xx tt v a v 0 0 v t 1 t v 4 4 分 分 由达朗贝尔公式得 t d a t x v at x at x 2 1 4 4 分 分 最后 2 sin t t u 2 2 分 分 7 已知l阶勒让德多项式 x P l 的表达式为 l l l l l x dx d l x P 1 2 1 2 计算 dx x P x P 2 1 1 1 解 由已知可求得 x x P 1 2 2 分 分 以及 1 3 2 1 2 2 x x P 3 3 分 分 所以 dx x x dx x P x P 1 1 2 2 1 1 1 1 3 2 1 由于被积函数为奇函数 或者直接计算 1 1 2 4 1 1 3 2 1 1 1 2 1 4 3 2 1 3 2 1 x x d dx x x dx x P x P 3 3 分 分 第 6 页 共 6页 得 0 1 2 1 1 4 3 2 1 1 2 1 1 4 3 2 1 2 4 2 4 2 1 1 1 dx x P x P 2 2 分 分 三 证明题 每题 8 分 共 8 分