2010mcmA 美国大学生数学建模竞赛 baseball sweetspot.pdf

0 2010 mcm 一 问题重述 棒球是一种以棒打球为主要特点的运动项目 在国际上开展较为广泛 影响较 大 如何利用球棒击球才能获得最佳效果是一个很重要的取胜条件 如今 棒球越 来越受到人们的关注 对于球员来说如何击打出更多的本垒打以取得比赛的胜利也 越来越重要 人们普遍认为这个最佳击球点在球棒的末端 现针对以下问题进行研究 1 到底什么是棒球棒的 最佳击球点 2 每个击球者都知道 在棒球棒的大头部分有一个点 当用这一点击球时转移 的能量会达到最大 这一点为什么不在棒球棒的顶端呢 一个基于扭矩的简单解释 似乎可以确定 最佳点 应该出现在球棒的顶端 但是这与实际的经验不符 建立 一个模型 解释这一经验结论 3 一些球员认为 给球棒 软木化 在球棒头部掏出一个圆柱空腔 在里面塞 入软木或橡胶 然后盖上木帽 能够增加 最佳点 的效果 补充你的模型 以证 实或否认这种效果 这是否能解释为什么美国职棒大联盟禁止 软木化 4 球棒的构造问题是否会涉及材料的选择 也就是说 是否这个模型能预测木 质 通常是岑木 或金属 通常是铝 球棒的不同特性 为什么美国职棒大联盟要 禁止使用金属球棒 二 问题分析 棒球手击打棒球的目的是使球获得最大速度 也就是在选手技术水平一定的条 件下 寻找能使能量转换率达到最大的击球点 最佳击球点不一定就是棒上线速度 最大的点 因为在撞击过程中 不仅包括球与棒的速度转换 还包括系统撞击后球 棒的振动过程 我们可以对这两个因素进行独立分析 先寻找出能使系统振动能损 耗达到最小的一个点或者范围 对于速度转换 可以将整个物理过程当成一个非完 全弹性碰撞模型 通过速度等因素即可确定能使速度转换率达到最大的点或者一段 范围 最终 综合考虑两个限制范围 就可以找出最佳击球点 为了发挥最佳击球点的最大优势 一些棒球运动员认为在棒球棒上添加软木塞 即将棒球棒顶端挖空并填充软木可以提高最佳击球点的击球效果 显然 添加软木塞可以减小球棒的质量同时改变球棒的质心分布 球棒变轻使 得击球者可以更好的控制挥棒的路线 提高挥棒击球的速度 对于一个业余爱好者 来说 球棒的质量变化不会产生太大影响 而对于一个职业选手来说 更加轻巧的 球棒可以给运动员带来一些优势以此帮助取胜 软木塞的添加使得质心更加靠近握 柄 击球者挥棒时的转动半径减小 再加上球棒质量的降低 使得整个球棒的转动 1 f 惯量变小 由于转动惯量的减小 击球者可以更快的挥动球棒 那么击球者挥棒的时间减 少 故击球者就可以争取更多的时间观察棒球 对于棒球的运动状态做出更加准确 判断 换一个角度分析 球棒质量减小 会使得球棒在相同速度下的动量 能量减小 因此 通过动量守恒 能量守恒计算得到的出球速度就会减小 降低最佳击球点的 击球效果 另外 我们还需要考虑空腔可能带来的蹦床效应对于击球者 对于击球 效果的影响 同时棒球手为提高击球效果将棒球棒更换为铝球棒 为了分析不同材质的棒球 棒对于最佳击球点击球效果的影响 我们需要分别确定铝制球棒和木质球棒的固有 频率 因为球棒的固有频率正比于其恢复系数 通过二者固有频率的比值 我们可 以确定铝制与木质球棒恢复系数的比值 显然 恢复系数的不同最终可能会影响着不同材质球棒击球效果的不同 尽管 铝制球棒相对于木质球棒 其质心位置的分布发生了变化 其蹦床效应的强度也发 生了变化 这些影响因素都是次要的 最后我们可以考虑利用问题一得求解方法 代入相关参数 通过定量计算我们可以得到不同恢复系数 不同质心的球棒在不同 击球点的回球速度 可以以此来说明铝制球棒与木质球棒的击球效果的差异 三 问题假设 1 棒球和球棒的碰撞在同一个平面 2 碰撞过程 球棒不会折断也不会发生永久性的形变 3 不考虑球的旋转对于碰撞的影响 4 碰撞点在棒球的球心和球棒的中心轴上 5 碰撞瞬间忽略击球者作用力的影响 6 忽略球与棒分离时 棒球的势能损失 四 符号说明 符号 说明 e 系统的恢复系数 J 转动惯量 M 质心 固有频率 2 k 固有频率之比 五 问题求解 5 15 1 最佳击球点的寻找最佳击球点的寻找 5 1 15 1 1 名词解释名词解释 最佳击球点 通过对棒球比赛规则的了解和分析 击球员的目的是争取将棒球击 到让守方队员接不到的远方或空档 之后利用守方球员未接到球的时间内通过跑垒 和滑垒来进行进攻 所以使棒球运行的距离最大的击球点 应为最佳击球点 也叫 甜蜜击球点 同时我们还注意到 如果球与棒在一维空间内进行碰撞运动 符合动 量定理 又因为整个过程中满足能量守恒定律 所以 怎样让击球员击球时的能量 损耗达到最少即最大限度的把能量转化成球的速度是问题的关键 在实际过程中 因为棒球是在高速飞行 爆发力量很强 击球时的动作不当 球棒的反冲力可能会 对击球员的手臂产生巨大的伤害 甚至折断球棒 综上所述 我们提出两种关于最佳击球点的观点 a 最佳击球点应该在球棒的撞击中心附近 这样可以使得击球过程中产生的震动 幅度最小 使能量的损失尽可能的减小 也能使球棒对球员手臂的反冲力达到 最小 b 最佳点离粗端太近 球的方向难以控制 容易打成界外球 甚至搽棒球而形成 被捕手接杀的机会 当然最佳击球点除了在球棒上距离的位置外 也必须在球 棒的正中心 通过球棒中轴线的位置 否则容易造成球棒下端削球和上端削球 形成地滚或者小飞球 出局可能性增大 并且球的打击距离短 所以 最佳击球点 不应该在棒端 5 1 25 1 2 模型建立模型建立 本题旨在研究 棒球的最佳击球位置是否在棒球顶点 根据对相关资料的查阅 从直观角度分析棒球的最佳击球位置不在棒球顶点 而是其他位置 所以本题研究到 底棒球球棒的甜蜜点在哪个位置 基于对最佳击球点的解释的深入分析的基础之上 根据相关物理知识 本题建立模型如下 自然振动模型的建立 由于球棒的固有特性 当球棒受到球的撞击时 会产生一定幅度的自然振动 而波动的频率与球棒和球的作用时间有关 实验表明 当球棒和球的作用时间约为 ms5时 产生一级自然振动 频率约为Hz215 当作用时间约为ms5 1时 产生二级 自然振动 频率约为Hz670 更短的作用时间会产生更高频率的自然振动 如图所 示 3 图 1 一级自然振动模式图 Hz215 图 2 二级自然振动模式图 Hz617 图 3 三级自然振动模式图 Hz1252 该波动具有如下特点 若球碰撞在球棒上波的结点处 不会激发波动 当球碰 撞在波腹处时 才能激发一定幅度的波动 且距结点越远 幅度越大 由以上三图 可看出 不同频率的波 其结点位置也不同 但各结点相距较近 若使球碰撞在一 级波动的结点处 虽不会激发一级自然振动 但会激发二 三级自然振动 且幅度 较大 若使球碰撞在一 二级自然振动结点的中点处 虽然一 二级自然振动均会 被激发 但振动幅度较小 其它级振动同理 基于以上考虑 应使球尽量碰撞在各级波的结点集中区 这样 虽然会激发多级振 动 但振动幅度较小 从总的效果来看 球棒对手的振动力相应减小 各级振动的 结点集中区如图 4 所示 图 4 结点集中区示意图 4 对于长度为 cminches88 766 34 30的球棒 实验表明 其结点集中区为距球 棒顶端 cminches78 17 16 107 4的区域 即距球棒顶端 2 20 7 15的部分 能量转移模型的建立 根据比赛规则 击球员击球后开始跑垒 跑垒的时间主要由棒球的飞行时间来决定 的 而决定飞行的时间的直接因素就是出球速度 所以能给棒球最大出球速度的击 球点是比较合理的最佳击球位置 我们针对速度的研究模拟了一张击球过程图 图 5 主要针对球棒的转动角速度和棒球的往返速度进行分析 图 5 击球过程的侧视模拟图 将球棒和球看做一个系统 考虑一般情况 球的初速度方向与球棒所在直线的 夹角设为 将 1 v分解为垂直球棒方向与平行与球棒方向的两个分速度 棒球运动 中 击打球的最终目的是使球在有效区域内能获得最大飞行时间 所以最佳的球轨 迹是一个斜抛弧 因此不管球的飞行方向怎样 运动员总是能通过调整球棒的方向 使得球与棒的速度夹角在一个合理范围 经研究发现为75 90 在碰撞过程中 对于整个系统 它在垂直于球棒方向的直线上所受合力为零 所以在整个运动过程 中在垂直于球棒的方向上系统满足动量守恒定律 角动量守恒定律 1 根据定义公 式得 1 1 1221 222 1 111 22 sin sin mvm umvm u mv rJmv rJ 5 整个系统的恢复系数等于击球前后球和棒的速度差的比值 222 111 sin urv e vur 2 因为不同材料的球棒在振动时产生的能量损耗不同 所以我们在速度表达式中 引入了参数 来表示材料对能量损耗的影响 由 1 和 2 可得到 2 v的最终表达 式为 212121 21 2 121212 1 1 sin 1 m Je um Je vm Je r vv J mmmmmm r 3 这样我们就得到了一个关于棒球被击出后垂直于球棒方向的速度和从质心到击 球位置距离关系的一个函数 对 2 v和 1 v沿平行球棒的分速度按照向量合成规律进行 合成 即可得到球与棒分开后的速度 由于 1 v沿平行球棒方向的分速度是固定的 所以只需 2 v达到最大 球最终飞出去的速度即可达到最大 根据上述结果 我们可以 得出最佳击球点的范围区 5 1 35 1 3 模型求解模型求解 根据模型 为了使结果能更好的解释问题 我们搜集并挑选了一组具有代表性的 木质棒球棒的击球过程中的数据 见表 1 因为只有碰撞满足机械能守恒且为完全 弹性碰撞时 e才能达到最大 即等于 1 不损失任何能量 但实际情况中 e很难 达到 1 我们尝试给定e一个范围 0 1 3 0 之后通过Matlab编译程序并画出e在 这几值下的速度变化曲线 见图 6 与曲线峰值时的击球位置 观察发现 e的大小 仅影响速度的变化 对最佳击球位置的判断并不产生影响 表 1 球棒的参数 单位 SI 1 m 2 m 1 v 1 u 1 H J C l 数值 0 2 0 9 35 20 29 0 70 0 15 0 60 0 86 0 7 6 图 6 问题的求解结果 由图可知最佳击球点到顶端的距离mr2 0 综合考虑振动能耗和能量的最大转换 若使球棒振动耗能最小 应使击球区位 于距球棒顶端 2 20 7 15的部分 若使球获得的转移能量最大 应使击球区位于 距球棒顶端 20处 5 1 45 1 4 结论结论 综上所述 运动员在使用球棒击球的时候 为了取得最好的击打效果 使球在 碰撞过程结束后获得最大的飞行速度 在满足自身技术动作调节最好的前提下 还 应当使击球点的震动耗能最小 转移能最大 也就是尽量使得击球点接近距球棒末 端百分之二十的地方 5 25 2 填充棒球棒的探究填充棒球棒的探究 5 2 15 2 1 模型建立模型建立 本题主要讨论 棒球棒软木化对击球的影响 通过第一问的分析 可以在球棒 上准确的将最佳击球位置找出来 影响最佳击球位置的因素由球棒本身决定 填充 球棒给我们的直观感觉是填充物会改变球棒的一系列物理特性 例如球棒质量 质 心位置 弹性系数等 毫无疑问 这些物理特性的改变会最终影响到球员的击球 这也直接关乎比赛的公平性 下面着手分析各影响因子的影响程度 本题模型建立 如下 因素影响 a 对于球棒质量的影响 实木的棒球棒与添加软木塞的棒球棒密度不同 在棒球棒中添加软木塞可以使棒 球棒的质量减少 总体而言 在同样体积的条件下 密度不同 质量就不同 7 b 对于球棒质心的影响 因为软木的密度小于原本木质球棒的材料密度 所以在棒球棒尾部添加软木塞 会使得球棒的质心向握柄处移动 c 对于转动惯量的影响 转动惯量的计算公式 2 1 2 Jm r 4 出球速度的确定 由问题二的分析可知 球棒质量减小会从不同方面影响出球速度 一方面球棒 质量减小 在挥棒速度不变的情况下 球棒的动量 能量都减小 另一方面 球棒 质量减小 运动员的挥棒速度会有所提高 从而引起动量能量的变化 以下分别作 具体说明 出球速度与挥棒速度 球棒质量的关系 球棒与球撞击时 由动量守恒 1 12 21 12 2aabb mvm vmvm v 5 考虑恢复系数表达式 12 12 aa bb vv e vv 6 由以上两式得 12222 1 12 b a mem vmem v v mm 7 此式即出球速度与球棒质量 挥棒速度的关系表达式 挥棒速度与球棒质量的关系 由生物工程的实验得出 挥棒速度与球棒质量的关系可用下式描述 0 0 0 xA vBC ABC 8 在计算完挥棒速度后 将球棒 软木化 是否可以增加球棒对球的转移能量 就可以 能解释为什么美国职棒大联盟禁止 软木化 5 2 25 2 2 模型求解模型求解 1 对于球棒质量的影响 根据相关资料软木塞一般直径为1inch 高为6 10inch的圆柱体 这里我们取直 径1inch 高8inch 又因为12 54inchcm 计算得到软木塞体积为 3 102 96cm 通常的木质球棒由岑木构成 其密度大概是 3 6 0cmg 而软木的密度一般是 8 3 15 0cmg 因此我们可以得到在棒球棒中添加软木塞可以使棒球棒的质量减少 g33 46 2 对于球棒质心的影响 因为软木的密度小于原本木质球棒的材料密度 所以在棒球棒尾部添加软木塞会 使得球棒的质心向握柄处移动 一根长度为cm88的木质球棒质量是g900 其质心距离顶端cm32 最粗部分半 径cm7 最细部分半径cm3 添加软木塞之后其质心距离顶端大概cm35 3 对于转动惯量的影响 转动惯量的计算公式 2 1 2 Jm r 未添加与添加软木塞的棒球棒如图 7 8 所示 图 7 未添加软木塞的棒球棒转动图 图 8 未添加软木塞的棒球棒转动图 同样以长度为cm88的球棒为例 其握柄端点距离挥棒时的身体转轴的距离大概 为cm15 故参数表 2 如下 表 2 棒球棒相关参数表 参数 端点距离挥棒时的身体转轴的距离 长度 质心与榜尾距离 重量 实木 cm15 cm88 cm56 g900 填充棒 cm15 cm88 cm53 g854 9 2 226845 0mkg 根据以上数据和公式 4 我们计算质心与转轴点的距离以及转动惯量如表 3 表 3 棒球棒计算结果表 参数 质心与转轴点的距离 转动惯量 实木 cm71 填充棒 cm68 4 对于恢复系数的影响 我们通过查阅资料可知 表示能量损失程度的恢复系数 2 并不是常数 而是与质 量比等有关的变量 一般棒球的质量为g145 球棒的质量g900 二者质量的比值 16 01 K 添加软木塞后球棒质量g854 17 02 K 两比值之间相差较小 故可 以不考虑添加软木塞给恢复系数带来的影响 5 蹦床效应 3 当球棒中出现圆柱形空腔 腔壁变薄 具有一定弹性 当球棒受到球的撞击后 腔壁会出现波动 进行交替的收缩与伸展 且对称两侧腔壁的波动情况关于球棒中 心轴对称 即 蹦床效应 如图 9 图 9 蹦床效应表示图 蹦床效应的特点为 波动只在球棒一定区域内进行 不会传播到其他区域 波 动区域的确定方法为 当球棒未被挖出空腔时 找出一级波动与二级波动的结点 则蹦床效应的波动区域为包含两结点及其附近的区域 以木球棒为例 当空腔中填入软木或橡胶时 球棒连同腔壁更具有弹性 使得 球棒与球的作用时间更长 产生蹦床效应的作用时间需小于等于 1ms 远小于球棒 与球的作用时间 在实际中 只有铝制空心球棒能达到较短的作用时间 从而产生 蹦床效应 因此 空腔中加入填充物后 不会产生蹦床效应 6 出球速度的确定 由问题二的分析可知 球棒质量减小会从不同方面影响出球速度 一方面球棒 质量减小 在挥棒速度不变的情况下 球棒的动量 能量都减小 另一方面 球棒 质量减小 运动员的挥棒速度会有所提高 从而引起动量能量的变化 以下分别作 具体说明 出球速度与挥棒速度 球棒质量的关系 球棒与球撞击时 由动量守恒 1 12 21 12 2aabb mvm vmvm v 2 1974448 0mkg 10 考虑恢复系数表达式 12 12 aa bb vv e vv 由以上两式得 12222 1 12 b a mem vmem v v mm 此式即出球速度与球棒质量 挥棒速度的关系表达式 挥棒速度与球棒质量的关系 由美国职棒联盟公布的数据 进行曲线拟合 求出参数 得到表达式为 22 70 4 5 4 6032 b mv 将两者综合考虑 联立以上两式 利用Matlab画出出球速度 挥棒速度关于球棒质量的关系曲线 如图 10 所示 图 10 出球速度 挥棒速度关于球棒质量的关系曲线 由曲线可看出 若使球棒质量减小 挥棒速度会增加 但出球速度在微弱增加 后 会急剧减小 以常用木球棒为例 原球棒质量为g900 一般情况下 将球棒 软 木化 会减少大约g46 这样 出球速度反而会略有下降 另一方面 由于空腔内的填充物弹性较强 球棒与球撞击后 填充物会以弹性 形变的形式储存一部分能量 使得转移给球的能量减少 11 因此 将球棒 软木化 并不能增加球棒对球的转移能量 5 2 35 2 3 结论结论 通过上述分析 我们可以知道添加软木塞对于击球效果并不会产生十分显著的 影响 不论是增加大出球速度还是减小出球速度 同时 软木塞的添加又不会引起 蹦床效应 对于击球者的手部震感没有影响 由于软木塞的添加产生的影响没有统一的确定结论 这就可能导致一些不公平 的竞赛现象出现 所以棒球联盟规定正式比赛禁止使用软木塞 5 35 3 木头和金属球棒的不同打击效果研究木头和金属球棒的不同打击效果研究 就木质和铝制的球棒而言 木质球棒的构造与铝棒的构造有很大的不同 一些重要 的区别如下 木质球棒多是由枫树做成的 木棒与铝棒相比木棒的把手通常比较粗而棒筒比 较细 这是因为如果把手较细就容易折断 两种材质球棒的质心不同 铝棒的质心通常距离球棒的端点大约为63 12 英寸 cm08 32 而木棒通常大约为25 11英寸 cm575 28 因为铝棒的质心相对 于木棒更加靠近握棒点 换句话说 运动员挥动铝棒相对比较容易 击出的球 速也较快 通常铝棒的棒筒是中空的 由于中空的棒筒 蹦床效应更加明显 因为铝棒的恢复系数较大 所以当球速相同时 撞击铝棒的球形变更小 击打 后球速较大 通过以上的定性的分析 我们可以认为铝棒比木棒击球更加有效 所以我们透 过第一问的模型通过改变参数来对不同材料的球棒进行分析 5 3 15 3 1 模型建立模型建立 本模型主要讨论不同材质的棒球棒最佳击球点的击球效果 因为前面已经讨论 过最佳击球点位置的确定 从第一问的模型中 我们知道球的质量 球棒的质量 球的初始速度等等都会影响球速 铝棒的各种参数和木棒有很多的不同 我们需要 应用一组两种球棒的参数得到结论 1 对质量的影响 由于目前大多数铝制球棒在粗端都有空隙 因此 尽管铝的密度大于木材 还 是可以认为铝制球棒与木质球棒的质量相同 同时 棒球棒的质量可以在一个范围 内波动 令二者质量相等 不会影响模型的合理性 并且可以简化模型 2 对质心的影响 因为铝制球棒是空心的 其结构与木质球棒明显不同 所以二者的质心分布也 不同 通过查阅资料 我们可以知道铝棒的质心要比木棒的质心更靠近握柄 其相 差距离大致为cm5 3 3 对恢复系数的影响 根据相关资料显示 物体的恢复系数正比于其固有频率 而铝制球棒和木质球 12 棒的固有频率显然不同 实验表明铝制球棒的固有频率1f为Hz6 141 木质球棒的 固有频率2f为Hz5 83 二者固有频率之比k为 2 1 f f k 故铝制球棒恢复系数 1 e与木质球棒恢复系数 2 e之比 为 2 1 e e 4 蹦床效应 因为铝制球棒的刚性较强 故棒球与球棒碰撞的碰撞时间极短 同时由于铝制 球棒内部存在空腔 这两点使得铝制球棒在击球碰撞的瞬间有较强的蹦床效应 通 过查阅资料 我们知道由于铝制球棒特殊的构造使得蹦床效应引起的振动只是集中 在球棒的粗端 并不会向握柄处移动 具体示意图如图 11 图 11 铝棒蹦床效应示意图 由图可知 尽管铝制球棒蹦床效应比较明显 但击球者并不会感觉到手部有明 显的振动感觉 这一点铝制球棒和木质球棒一样 5 3 25 3 2 模型求解模型求解 根据相关资料显示 物体的恢复系数正比于其固有频率 而铝制球棒和木质球 棒的固有频率显然不同 实验表明铝制球棒的固有频率1f为Hz6 141 木质球棒的 固有频率2f为Hz5 83 二者固有频率之比k为 1 2 1 70 f k f 故铝制球棒恢复系数 1 e与木质球棒恢复系数 2 e之比 为 70 1 2 1 k e e 这里为了简化计算 我们不妨取 2 0 25e 那么 11 0 425ee 13 利用上述假定的铝制球棒恢复系数以及木质球棒恢复系数 两种不同材质的棒 球棒的相关参数如下 表 4 棒球棒相关数据表 参数 端点距离挥棒时的身体转轴的距离 长度 质心与榜尾距离 重量 实木 cm15 cm88 cm56 g900 铝制 cm15 cm88 cm5 49 g900 将参数代入木棒击打模型 利用matlab编程可以得到铝制球棒和木质球棒出球 速度关于击球点位置的变化图像 图 12 球棒佳击球位置到顶端的距离与速度关系图 观察图像 根据这个图示 铝棒相对于木棒可以传递给球更多的能量 所以铝 棒击出的球 速度明显大于木棒 我们可以发现球棒的最佳击球位置到顶端的距离和最大出球速度 表 5 表 5 球棒佳击球位置到顶端的距离和最大出球速度表 球棒 最佳击球位置到顶端的距离 最大出球速度 铝棒 0 22m 73 89m s 木棒 0 20m 60 03m s 5 3 35 3 3 结论结论 根据上面的计算结果 我们发现铝制球棒的击球效果明显优于木质球棒 铝制 球棒因为具有较高的固有频率 所以其恢复系数也较高 而恢复系数的大小体现了 整个碰撞系统能量转换的效率 恢复系数越大 表示棒球在碰撞结束时可以获得较 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 击 球 点 距 离 球 棒 顶 端 的 距 离 棒球的出球速度 木 棒 铝 棒 14 大的动能 铝制球棒的恢复系数大于木质球棒 那么就表示用铝制球棒击球可以是 棒球获得较大的回球速度 这样的分析结果同时验证了上述模型计算结果的正确性 因为铝制球棒具有更好的击球效果 这在一定程度上降低了棒球比赛对于 选 手能力的要求 为了突出运动员个人能力的重要性 因此棒球联盟决定禁止金属球 棒 另外 职业击球手使用金属球棒很容易打出全垒打 频繁的全垒打会降低比赛 的观赏性 同时限制其他棒球选手的能力展现 但是我们不能忽略铝棒的另外一个 优点就是不容易折断 而木棒在击球时中间部位有可能折断 在几乎每一个职业棒 球联盟 都有很多折断的事件发生 所以球棒的坚固程度也是很重要的 六 模型改进和推广 1 模型优点 对于问题二 通过确定挥棒速度与球棒质量的函数关系 综合了添加软木塞引 起的质量减小 速度增加对于系统动量能量变化的影响 实现了定性向定量计 算的转化 问题三中 根据不同材质棒球棒的固有频率之比得出铝制球棒与木质球棒的恢 复系数之比 以此确定不同棒球棒恢复系数的大小 减小了主观确定恢复系数 带来的误差 2 模型缺点 棒球棒的规格众多 即使材料相同的球棒 也会因为长度不同 构造不同引起 一些相关参数的变化 本文忽略了由于规格差异引起的棒球棒参数不同给模型带来 的影响 参考文献 1 方舟 关于棒球最佳击球点的探讨 J 2010 3 2 姚文莉 考虑波动效应的碰撞恢复系数研究 J 2003 3 3 Alan M Nathan The Physics of the Trampoline Effect in Baseball and Softball Bats 2004 附录 m1 0 2 m2 0 9 m3 m2 19 20 v1 35 H 0 7 u1 20 w1 u1 H I 0 15 I1 I 19 20 u 0 7 e 1 r 0 0 0 01 1 hold on n 0 for e 0 3 0 1 1 n n 1 v2 v1 m2 I 1 e u1 1 e m2 I v1 m2 I w1 1 e r I m1 m2 m1 m2 u 15 m1 m2 r 2 for i 0 0 01 1 v3 v1 m2 I 1 e u1 1 e m2 I v1 m2 I w1 1 e i I m1 m2 m1 m2 u m1 m2 i 2 if v3 max v2 disp i a n i plot