接本考试经管类线性代数.ppt

第三章向量空间 3 1n维向量概念及其线性运算 3 1 1n维向量及其线性运算 定义 由n个数 组成的有序数组 称为一个n维向量 数 称为该向量的第i个分量 向量通常写成一行 称为行向量 有时也写成一列 称为列向量 也是1 n矩阵 也是n 1矩阵 既然向量又是一种特殊的矩阵 则向量相等 零向量 负向量的定义及向量 运算的定义都应与矩阵的相应的定义一致 定义 所有分量都是零的n维向量称为n维零向量 零向量记作 注意 不同维数的零向量是不相等的 把向量 的各个分量都取相反数组成的向量 称为 的负向量 记作 定义 如果n维向量 与n维向量 的对应分量都 即 相等 则称向量 与 相等 记作 定义 向量的加法 设n维向量 则 与 的和向量 利用负向量的概念 可以定义向量的减法 定义 数与向量的乘法 设 是一个n维向量 k为一个数 则数k与 的乘积称为数乘向量 简称为数乘 记作 并且 例1设 求向量 解 例2设 求满足 的 解 3 1 2向量的线性组合 1 向量的线性组合 定义 设 是一组n维向量 是一组常数 则称 为 的一个线性组合 常数 称为该线性组合的组合系数 若一个n维向量 可以表示成 则称 是 的线性组合 或称 可用 线性表出 或线性表示 仍称 为组合系数 或表出系数 零向量可以用任意一组同维数的向量线性表出 称它为零向量的平凡表出式 这说明 表出系数可以全为零 表出系数全为零时被表出的向量必是零向量 若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组 m个向量 组成的向量组可记为 或 例3设 将A按行分块可得一个n维行向量组 称之为A的行向量组 将A按列分块可得一个m维列向量组 称之为A的列向量组 考虑下面的n维标准单位向量组 中第i个分量为1 其余分量都为0 任意一个n维向量 都可以唯一地表示成这n个标准单位向量 的线性组合 3 线性组合的矩阵表示法 向量 可用向量组 线性表出的充分必要条件是 存在m个数 使得 怎样用向量组 线性表示 即求出 怎样求出 转化为求非齐次线性方程组的解 例5问 能否表示成 的线性组合 解 通解方程组为 即方程组的唯一解 所以 能唯一表示成 的线性组合 例6问 能否表示成 的线性组合 解 同解方程组为 取 所以 能表示成 的线性组合 且方法有很多 则有 K可任意取值 3 2线性相关与线性无关 3 2 1线性相关性概念 定义 是m个n维向量 如果存在m个不全为零的数 使得 则称向量组 线性相关 为相关系数 否则 称向量组 线性无关 设 称 定义 设 是一个n维向量组 若 仅当 时成立 则称向量组 线性无关 判断线性相关性的方法 1 一个向量 单个向量 线性相关 单个向量 线性无关 2 两个向量 两个向量线性相关的充要条件为 对应分量成比例 线性无关 线性相关 P941 5 3 三个及三个以上向量 1 向量个数和向量维数相等 例问向量组 是否线性相关 解 设 即 系数行列式 所以此线性方程组只有零解 这说明 线性无关 方法 计算由每个列向量作为一列的行列式的值 若不等于0 线性无关 若等于0 线性相关 P941 1 2 向量个数大于向量维数 不需判断 肯定线性相关 P941 6 3 向量个数小于向量维数 方法 向量组的秩小于向量的个数 线性相关 向量组的秩等于于向量的个数 线性无关 例问向量组 是否线性相关 解 所以 及向量组的秩也为2 小于向量的个数 所以向量组线性相关 怎样求出相关系数 已知向量组 试讨论其线性相关性 若线性相关 则求出一组不全为零的数 使得 解 设 即 因为 所以方程组有非零解 故向量组线性相关 方程组的同解方程组为 令 可得一组解为 即 得 例若 线性无关 证明以下向量组线性无关 证 设 将已知条件代入得 整理得 因为 线性无关 必有 解得 所以 线性无关 定理 m个n维向量 线性相关 至少存在某个 是其余向量 的线性组合 即 线性无关 任意一个 都不能表示为其余向量的线性组合 定理 如果向量组 线性无关 而添加一个同维向量 后所得到的向量组 线性相关 则 可以用 线性表出 且表示法是惟一的 定理 设 为线性相关组 则任意扩充后的同维向量组 必为线性相关组 简述为 相关组的扩充向量组必为相关组 或者 部分相关 整体必相关 它的等价说法是 无关组的子向量组必为无关组 或者 整体无关 部分必无关 定理 设有两个向量组 它们的前n个分量对应相等 如果 为线性相关组 则 必为线性相关组 3 2 3线性相关性的若干基本定理 向量组 称为向量组 的 接长 向量组 而把向量组 称为向量组 的 截短 向量组 相关组的截短向量组必为相关组 无关组的接长向量组必为无关组 3 3向量组的秩 3 3 1向量组的极大线性无关组 定义设有两个n维向量组 若向量组R中的每个向量 都可以由向量组S中的向量 线性表出 则称向量组R可以由向量组S线性表出 根据此定义 容易证明向量组之间的线性表出关系具有传递性 即若有三个向量组 如果R可由S线性表出 S可由T线性表出 则R必可由T线性表出 定义 若向量组R可以由向量组S线性表出 向量组S也可以由向量组R线性表出 则称这两个向量组等价 等价性质 设R S T为三个同维向量组 则有 1 反身性R与R自身等价 2 对称性若R与S等价 则S与R等价 3 传递性若R与S等价 S与T等价 则R与T等价 例2设向量组 显然有 记 易知R S T都是线性无关的向量组 且 可由R线性表出 可由S线性表出 可由T线性表出 具有这种特性的向量组R S T 都称为向量组 的极大线性无关组 定义 设T是由若干个 有限或无限多个 n维向量组成的向量组 若存在T的一个部分组 满足以下条件 1 线性无关 2 对于任意一个向量 向量组 都线性相关 则称 为T的一个极大线性无关向量组 简称为极大无关组 可以这样理解 在T中的 极大性 对于 无关性 来说 S在T中已经 饱和 了 即S本身是线性无关组 在S中任意添加T中的一个 向量 就成为线性相关组了 向量组S是T的极大线性无关向量组 等价于T中的任一个向量均可用S中向量 惟一地线性表出 定理 向量组T与它的任意一个极大无关组等价 因而T的任意两个极大无关组等价 例4由全体n维向量所组成的集合记为 求 的一个极大线性无关组 并证明 中的任意n 1个向量一定线性相关 解 n维标准单位向量组 是线性无关的 且任一n维向量 都可用 线性表出 即 从而 是 的一个极大线性无关组 设 是 中的任意n 1个向量 由于向量的个数大于向量的维数 可知 一定线性相关 定理 设有两个n维向量组 和 且已知向量组R可由向量组S线性表出 1 如果 则R必为线性相关组 2 如果R为线性无关组 则必有 推论1 任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相同 推论2 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同 3 3 2向量组的秩 定义 向量组T的任意一个极大无关组中所含向量的个数成为T的秩 记为 或者秩 T 定理 如果向量组S可由向量组T线性表出 其秩分别为 则 推论等价的向量组必有相同的秩 3 3 3向量组的秩及极大无关组的求法 当向量组中向量的个数与维数不同时有下面判定定理 定理5 设m个n维列向量 取 阶矩阵 设 的秩 若 则向量组 线性无关 若 则向量组 线性相关 且称矩阵A的秩 为向量组 的秩 推论 向量组中所含向量的个数大于向量的维数时 向量组线性相关 例讨论向量组 的线性关系 解 取矩阵 对A作初等行变换求秩 因为 向量的个数 故 线性相关 定义10 设 是n维向量 如果存在一组实数 使得 成立 则称向量 可由向量组 线性表示 或称向量 是向量 的线性组合 如例9中 可由 线性表示 且为 例10中 也可由 线性表示 且为 设 为任意一个n维向量 由于 因而 是可以由n维单位坐标向量线性表示 定义11 设T是n维向量所组成的