采用多种方法对多柔性体动力学分析结果的比较.doc

采用多种方法对多柔性体动力学分析结果的比较作者：奥斯卡WALLRAPP德国，慕尼黑D-80335，Lothstr.34，慕尼黑理科大学精密工程局，电邮：西蒙WIEDEMANN德国，慕尼黑D-81373，Lenaustrasse 2，电邮：simonwiedemannweb（接收日期：2003年1月24日；接受日期：2003年4月24日）摘要：在过去的十年里，我们在多柔性体动力学系统（MBS）研究的发展和应用做出了大量工作。2种最普通的近似描述柔性体参照系变形的方法是应用线性有限元模式和球形线性模型的模态。在柔性体物体模型领域，本文讨论了2个主题：（1）考虑变形方程中的二次平方项；（2）介绍了采用球形模型来减少计算时间的无失真变形的动态仿真。所提方案应用在2个实例中，汽车前悬架联接的变形以及太阳能电池板阵列的展开仿真。关键词：动力学仿真；柔性体模拟；节点和模态；模态选择。1. 引言对于柔性机械系统的仿真分析， 多柔性体系统(MBS)理论是适用的。 在这个理论里，多柔性体系统是基于浮动参照系的有层理变形的公式化。然后柔性体变形是大幅度位移和小变形的总和。 位移取决于变形，变形是通过对已知形式的运动和未知的权衡系数的近似求和。 这种形式的变形可以用有限元方法处理，此方法是将局部各种变形使用适当节点的位移或模拟逼近的方法来表示。 后者方法可以简化系统命令，但是导致了变形形式的选择问题。 在下面 ,我们假设应变和位移是很小的，但是在位移区的计算时应该考虑由于高负载的压缩和屈曲作用。物体的变化规律是线性的。 多柔性体系统软件SIMPACK 4是基于上述理论，柔性体息相关数据从SID文件取出，结合重要的ANSYS,NASTRAN等商业有限元软件，在SIMBEAM中进行空间两单元的前处理，在FEMBS中进行有限元结构分析。前处理产生了SIMPACK所需的含有几何刚度矩阵的数据。 这些证实了在考虑了大的纵向弯曲或扭转载荷时，前处理是非常重要的。图1. 汽车的前悬架的回转联接如文献3,10中提到 ，当结构负荷接近临界弯曲载荷或考虑空间变形时，线性弹性理论往往还不够准确。在这种情况下，非线性梁理论或基础技术是比较适合的。在本文中，运动学的位移计算也利用二次项法获得。该方法在SIMPACK中得到实施并且所有需要的矩阵可由simbeam预先计算好。模态法的优点是以极少数的自由度，从而大大减轻了相对于节点做法的计算负担。但模态法需要在仿真之前预先计算模型形状（例如，通过求解eigensystems或静态问题）。正如许多作者所表明的那样，模态所得结果的质量取决于（除数值方面）模态方法中使用的模拟形体的质量，这是就为何精确的模拟形体能描述真正的变形。所以，由于实际的负载，负载频率，和形体变形等通常不知道，选择的模态往往是随机的（假定模态），这就被认为是模拟的结果。据了解，只有极少数的适当模态可接近或等同于有限元的做法。本文论述了一种在仿真之前选择适当模态的方法，并用节点法和模态法进行了结果的比较。此外，还要研究几何刚度矩阵和运动学位移计算对二次计算研究的影响。所得结果与用ANSYS和非线性绝对交点坐标配方（ANCF） 2 法所得结果相比较 。第一个例子是用simbeam中建立的汽车前悬架回转联接（图1）的空间梁结构模型。静态和动态载荷均由simbeam和SIMPACK仿真出来。第二个例子是一个柔性的卫星太阳能电池阵列（图2 ） 。仿真的目的是估算卫星太阳能电池阵列展开时的柔性变形。除了 12 ，新方法更加精确的建立模型并且减少了计算量，这个柔性机构的建模是用Nastran的和fembs完成，展开动作的仿真是用SIMPACK完成。图2. 太阳能电池阵列的展开 2. 基于柔性体动力学系统的理论考虑到一个n节点的柔性体系统的变形，用n个节点的位移方向和速率变量和来表示，尤其是每个节点。一个柔性体系统可以由3种约束方程式描述出来的闭合力系得到，该3种方程是：（1）定义系统各部分的模型（也就是有限单元体，梁，等等）用来精确分析；（2）选择一个浮动参照系来描述系统的变形；（3）约束系统的各节点。第一和第二点的显形式叙述了系统所有节点的位移范围，用变量和，以及表示。第三种完整的约束用来描述结合点1、2，在第i和j点中隐藏了关系式各种约束方程式明确的叙述以及动力学原理的应用，一方面能将系统的各因素生成描述符或空间状态矢量，一个n节点单元的柔性体的位移所引出因素的中间结果表现为运动惯量、内应力、应用实体以及表面力的虚功属于广义速度和的虚拟速度矩阵分别是相应的广义质量和约束力。是总合成惯性力，取决于系统的运动参照系，描述物体内力，取决于变形，和分别描述i点的重力、节点力和周围的应力。图3.柔性体i的简要模型Jourdain定律规定：约束力的虚功率，在所有类型的约束力作用下为零。在方程式（2）里虚功率表达式的前提是不出现约束类型1和2，并且约束类型3要明确的给出。表达式以及方程式（1）都是对柔性体单元i的运动的描述，是作用在i上的约束力。 在这个公式里柔性体的运动被分解成一个相对于浮动参照系的运动和小变形。位移范围取决于变形，变形是近似的对产品已知形状功能和未知权衡系数的求和。因此，某单元P的点i在时间t的绝对位置是由相对于物体参考系的绝对位置给出的。在此处和以下，向量用适当的参照系描述，并且被大胆的预言，但并不总是记下时间相依变量。 P的绝对位置表示为 （4）并且是R点的弹性挠曲。处于系统一个截面处的绝对坐标系 P ，e）（在这里指梁模型的截面R处）或系统i（图3）的节点k处的 O k , ek ，是由系统坐标系的取向矩阵Ai给出的，坐标系是关于惯性系和取向矩阵的矩阵Ai和分别由和实行参数化。 物体截面的P点的线速度V和角速度是由方程（ 4 ）和方程（5）中泊松公式的区别得到的，因此，满足其中注意，和是线性的且是坐标系的角速度。变量和依赖于时间t，描述系统i的坐标系的运动。变量和w或u，和依赖于R和时间t，描述物体的变形。提到特殊的浮动坐标系，例如正切坐标系，约束面坐标系，TisserandBuckens坐标系，u和必须满足7所给出的6中变形约束。方程（ 4 ）至（ 6 ）中的变形变量是已知的形状功能和时间权衡系数或弹性坐标的近似。总的来讲，我们可以这样写 假定振型矩阵或均满足了约束所选择的连续模型体（ 1型）和所选择的参照系（ 2型） 。因此，弹性坐标是这些类型的独立的约束。 采用线性材料规律，但仍是一个非线性的应变-位移关系，在方程（2）中定义的内应力的虚功由得到，其中应变，虚应变速度以及压力在以下式子中作为系统i的非线性功能而给出的一般内力。在方程（ 9 ）至（ 11 ）中 ， B是非线性应变矩阵， H是胡克矩阵，是初应力矩阵，是物体体积的参考位形。 坐标系的变形运动方程为其中是广义质量矩阵，是结构衰减矩阵，是节点、体积、惯性力和场力的矩阵。是由质量矩阵得出，而又由密度阵和惯性力矩阵j1 , j2 , j3得出：所有的柔性体参数矩阵存储在SID文件里，这个文件的占用空间是由前处理程序（例如SIMBEAM 或 FEMBS）以及FE软件9计算出来的。最后，方程（1）到（3）里所引出的物体i的位置，速度，虚速度变量由给出。包含有相对运动和弹性变形的变量。其他所有的矩阵在5,7中给出。3. 变形场的近似模型 自从柔性体的研究开始，对变形场中各种不同的近似模型进行了讨论，例如，见 8 。在这里，六种模型简要的描述如下： （一）有限元离散时变形是线性近似的由插值矩阵，节点坐标与线性应变和应力的关系求得。 （二）模型的展开要考虑初应力及其线性计算节点坐标，即所谓的几何刚度矩阵。（三）有限元离散而变形是插值矩阵，交点坐标，线应变和压力的关系，以及除应力的二次近似。 （四）采用模态的方法在MBS动力学仿真中可以减少计算负担。模型（三）归纳为一个作为特征值或静态分析的模态矩阵。（五）除简谐振动之外，频率响应模式 1 为振型矩阵做了准备，第（四）中有所解释 。 （六）模型（D）及（E ）中的模态是用参与因素法选取的。 比较这些模型，结果有一部分是与非线性有限元理论分离开来的-这里绝对交点坐标配方（ ANCF） 2 和ANSYS。下面详细地描述了六种方法。 3.1模型线性FE法概论 方程（ 7 ）中最简单的模型是一个线性的变形场。因此，所有本地元素点x中的元素e的变形场是由插值矩阵和节点元素坐标表示的。某人发现变形，应变和元素e的应力（上标e） 有以下关系其中，且是 本地元素的位置矢量，是线应变，是元素e的线性胡克矩阵。所有单元的运动都可以这样写成由结构交点坐标向量形成的单独的有限元（ FE ）的球形节点。最后，介绍了一个深入MBS浮动参照系的结构支持的节点状态向量，可同时满足其中Te是个变换矩阵，JF 和 J F是有限元边界的自由和约束的发射矩阵。在方程（17）里，支持的节点运动大多为零。采用与方程（ 15 ）参照（ 7 ） ，于是有是线性模型形态矩阵。由方程（ 15 ）及（ 16 ）可知 ，方程（ 11 ）至（ 13 ）给出了内力和质量矩阵。Ke 和 Me ,分别是单元刚度矩阵和质量矩阵。 对各种有限元模型来讲，插值矩阵及其刚度和质量矩阵已经在有限元书籍中给出标准。模型（一）只适用于小弹性变形情况，载荷应小于临界负荷，例如为屈曲和扭转。 3.2模型（二）几何刚度矩阵模型（一）是初应力的延伸，如方程（ 10 ）和在虚应变速度中的双线性所示，方程（ 9 ） 。这双线性源自一个几何非线性理论，例如对梁 5 和板块模型。随着模型（一）中给出的插值矩阵 ，我们可以发现，由下列方程替换方程（ 16 ）和（ 19 ） ，在方程（ 21 ）中下标随着所选的有限元模型的应变而变化。矩阵是几何刚度矩阵。单元矩阵导出了精确的单元初应力，该应力是由有限元结构上的初始载荷产生的。 运用线性弹性理论，一个单元的实际几何刚度矩阵可以表示为物体i上的叠加的单一负荷，以及被预先计算好单位载荷的单位几何刚度矩阵。给出了单位压力， （例如， 11 ）方程（ 18 ）及（ 20 ）仍然用于变形和质量矩阵的计算。 模型（二）允许我们为梁结构计算临界屈曲倾斜负荷，并采取其他刚度的影响计算，例如螺旋结构。在另一方面，应该指出的是，该模型并没有计算非线性位移，例如短梁的弯曲。3.3模型（三）二次方程或变形运用非线性理论，例如为单元梁，笛卡尔形变量d含有二次项，并表示为梁变形的积分，如纵向应变和三个曲率。应变关系式（ 21 ）依然可用，但对于，而不是方程（ 15 ）及（ 18 ） ，其中写道：与线性函数矩阵和一个的函数矩阵，作为方向 ， 注意到是一个矩阵，由下面方程给出如果一梁单元的纵向应力和弯矩是以中心轴为中心的常量，那么节点K处的矩阵等于负的单位几何刚度矩阵，其中表示节点K处a方向的载荷。更多详情见10。当为屈曲或扭转，或三维空间弯曲和扭转运动的梁单元进行实际负荷接近临界负荷的计算时，模型（三）给出了比模型（一）及（二）更好的结果。3.4模型（四）模态变换 模态运用。物体i的有限元结构的变形由方程（ 12 ）给出，其中忽略了阻尼并且内力被纳入了一个简单的刚度矩阵，同见方程（ 19 ） 。这产生了有限元结构运动方程其中是是有限元结构的节点向量。中的长度一般是很大的。利用方程（ 26 ）单位负载的特征向量与静态位移场（静态方式）可以生成一个在MBS动态仿真计算中很少的维数。选定的模型组成了模态矩阵。这产生了新的质量，刚度（模态）,分别是振型矩阵 ，如在方程（12）中所示，减小了可近似描述柔性体变形的维数，值得注意的是，对于模型（二），几何刚度矩阵和对模型（三），二次模态矩阵也要被变换为模态。如果所有的模态是正交的，则模型质量矩阵可分解为单位矩阵。一般来说，较低的简谐振动都比高频率的模式重要，静态模式提高了模态逼近的精确度（例如，见 6 ， 7 ） 。3.5 模型（五）采用幅频响应模式除了简谐振动， 1 的作者提出了一套频率响应模式，当节点k处主激振频率作用下的谐波载荷可估计时，这个问题可以计算出来。随着逼近，方程（ 26）给出且解决问题的关键在于位移场，即所谓的幅频响应模式。特征模式及幅频响应模式形成了一个的次方维数的模态矩阵。模态转型如模型（四）所示 。 3.6 .参与因素法选择模态 12 的拟议中 ，解决了MBS仿真中作用于柔性体的接缝和荷载，可利用预先计算好的参与因素来选择模态。首先，建立模型（四）所示的大量模态和相应的模态方程。其次，加载假定或估计的节点和惯性力或力矩参数。第三，对系统做一个简单的静态分析得出物体指定点的变形，有利于用模态给出（参与）要素。可调因子小于预期值，表明全部变形中相应的模态要素比这个值要小，并可能被忽略。其余的模态被用来做时域仿真。 据指出，相关要素的计算只在一种情况或时间点上，并要计算单独力以及联合结构。不过，在使用该方法节省计算时间的时候，这个要素将用于计算指定的力以及联合结构，以及时得出这些临界点的结果。该方法基于这样的假设：为相应的浮动参照系预先计算好模态和模态质量和刚度矩阵（如比肯斯帧或正切帧）并且这种变形没重大意义相反地却对物体的相关运动产生影响。因此，主应用和约束力量和力矩由于力元素，接合处，外表面与负载，可由简单快捷刚体模拟得出。关于涉及到的物体（变形方程）运动方程，可由方程（14）中相应的和，的第三行和求得。因此，方程（3）中摘录的一个变形方程，当忽略了科里奥利和阻尼项（详情请参阅 5,7 ）这里是线性和参照系的角速度，为含有的二次项，是相应的质量系数矩阵，和是节点力和力矩，包括应用的和约束力，是节点k的模态矩阵。由于物体节点上的约束力受制于加在其上的外力，方程（ 28 ）描述了物体浮动参照系的受迫变形。与假设起，其中是一个假设的激振频率，以考虑惯性力，并利用方程（ 2 8） ，解决了下面弹性模量 自从有了方程（ 29 ）的解决方案 ，物体的变形可由方程（ 7 ）和（ 18 ）来线性化和计算出。因此，物体i的节点k处的3个平移和三个转动变形是模态因素的平移和旋转变形定义为 图4.稳定联接的有限元模型图5.自由联接的首次简谐振动模型表1.仿真联接的负载情况图6.负载3情况下联接的变形表2.模型(一)到（三）情况下，使用ANCF或非线性ANSYS法的结果误差代表着节点的模量沿线或约的总弹性运动分布。由于所有的模态都是正交化，因此没有相互耦合，模量在再次使用前的计算以及给出了误差的估算值，采用了与使用所有模型后的结果相比较。这些误差可以计算出节点k的所有六弹性自由度其中指出了所有模态的设置和选取，值得注意的是在使用方程（32）时，误差在物理单位米和弧度上是绝对存在的。 一个柔性体的形变场的近似变形模型，在汽车的前悬架上进行了第一次稳定性测试，见图1 。如图4所示的空间曲面的联接是由一个三维梁网格，分成20个物理节点和一个额外的节点k = 21为物体提供参照系。该网格有19个梁单元，因此，网格形成了一个曲线梁的中心线的多边形。无约束的结构的DOF数目是 =120 ，受迫联接的DOF数目是=114。联接的横截面是一个直径0.019米的圆，材料是钢。 无约束联接的第一振型绘制在图5 ，用Buckens参照系。前10个固有频率的值分别是45.0，96.7，113.0，118.2，202.4，286.1，335.9，367.9，430.5和521.6赫兹。为了讨论变形的近似描述，联接的20个节点的各节点被迫加载了空间力F和扭矩L，因此。具体加载情况见表1 。 4. 线性与二次近似 为讨论变形的二次近似的影响，对联接加载荷1，2和3进行分析。对载荷3，变形前后如图6。表2列出20个节点的位移的结果，。这里所取得的成果是由ANCF法,以及360个自由度作为参考解决的。360自由度的。相比之下，非线性ANSYS的600自由度的模型结果在表2中给出。 对这三个负荷来讲，线性模型（一）的位移的误差非常大。随着一个渐渐增大的力（比较例1和2），其他位移也显示误差大于百分之三。模型（三）极大地将例2的误差由33%降低至3.5 。这意味着形变场的二次近似是一个功能强大的模型，可用来解决远超出线性的变形情况。然而，对于负载例3 ，联接的主要变形是由二次方程（图6 ）解决的 。 图7.负荷情况2下联接的参与要素法4.2 .节点与模态逼近和模态选择在以后的仿真中，应用了简化模型的模态逼近方法。随着SIMBEAM和SIMPACK中模态的选择，无约束联接的Buckens参照系的简谐振动被准备好。应该指出的是，对模态方程讲，悬架联接（六约束）满足了方程（ 1 ） 。参照系的六个方向必须包括在运动方程内，方程（3）以及6个表示约束的拉格朗日乘数。因此自由度的数目是。线性变形理论适用于除物体参照运动由SIMPACK非线性计算出来的其他所有情况。 除了一个高频简谐振动模式的简单中断外，使用图6中所示的参与要素的方法选取模态也适用。负载例2的要素绘制在图7中。在第一个例子中，选择了以下19个简谐振动：从1到10，12至16，18，26，27。对荷载例3和例4 ，一套新的简正振动由参与要素给出：使用了14个简正振动模式：由1至6，8，9，11，12，14，16，26，27。为了提高结果的精确性，两套幅频响应模式，由激振频率和作用在节点1至20的力，负载例3和例4由方程（ 27 ）得出，除了若干简正振动。模拟的结果列于表3 。为了测试动力学模型中模式的选择，使用了一个加载调和函数（负载例4 ）。图8显示计算的位移和。 由于联接是一个三维立体结构，作用在节点20上载荷的所有弯扭模式是随即的。因此，只有大范围的简谐振动可以正确描述物体变形，如图7中所示的参与要素 。显而易见，11和17对负荷例2并不重要 ，而26和27是重要的。由方程式（33）可知，节点20的位移的误差估计值为-10%。这个值接近于SIMPACK所得出的-11%，见表3 ，载荷例2 ，模态逼近em-pf。 对负荷例2采用参与要素法进行模态选择可将误差从46%降至20，最大程度上满足了非线性的结果。这种模式消耗的CPU时间比采用114个满节点的负荷例4所消耗的要少100倍，而位移是相近的（图8）。表3.负载2和3情况下联接的变形（非线性ANSYS结果的误差）图8.联图8.节点20上负载4情况下Y和Z方向的位移图9.太阳能电池阵列展开简图一种模式的主变形描述方法不能精确表达Y方向的运动。表3和图8还表明，即使只使用三个简谐振动和12个幅频响应，仍可以给出令人满意的全模型结果。其原因是幅频响应模式是一种可以正确解决边界条件下的静态和动态模式的混合的模式。 5. 太阳能电池阵列的展开仿真 由于这个模型相当复杂，如图2所示，而且事实上，约五百名的实时秒必须遮盖，时间仿真采用节点匹配法提供真实变形或最佳近似的参照，不能取得一个正确的时间点。因此，只有采用柔性体的变形描述方法。 事实上，太阳能电池阵列的展开基本上分为三个步骤，见图9和文献 12 。在第一步骤，一些固定的弹簧以恒定扭矩开始工作，并推动电池面板。不过，由于所有面板和羁绊，是连接在由柔性的封闭电缆形成的环路上，并且由于不能自由转移，马达齿轮组仍不能活动，弹簧驱动电池阵列相对于电缆运动，因此产生了一个阻尼振动。这就是所谓的跳跃。第二步是在250秒后启动马达齿轮组，缓慢而平稳的旋转所有连接的面板。最后一步是在约360秒后电池阵列完全展开时锁定齿轮组并启动锁定装置。在以下使用了4个模型。注意到所有简谐振动模式（em）都由自由结构计算出，所有幅频响应模式（ frm ）由真实的连接和力配置计算出，模型（仿真运行）详述如下： 1. 连接铰采用15em，板8em（ 604 ） ， 2. 连接铰采用19em，板8em（ 690 ） 3. 连接铰采用5em+ 11 frm ，板8em（ 583 ） 4 . 连接铰采用5em+ 11 frm ，板5em+ 13 frm （ 1953 ） ， 其中括号内给出了必要的CPU时间。根据以前所说，在当自由简谐振动的桎梏和面板的参与要素被计算出之前，以及跳跃和展开完成后，由于这些点是当时的关键点。图10显示了柔性体位移最终的x平面和y轴的仿真结果。图10.最终电池板的位移 图10显示出大量的使用frm导致越来越大的结果偏差。对于本例而言，仿真结果主要取决于两个非常不同的模态群体：一种是少数简谐振动模式非常合适的表述了能量的最大部分，换言之，表述了整体的变形。幅频响应模式，在另一方面，在方程（ 28 ）中计算出 ，在使质量和刚度矩阵正交且修正频率介于2 Hz至800Hz后，因此描述了大部分的高频振荡。正如所料，这些振荡只代表了主帆板静止时残余的小部分能量，而所有小的附加物和边缘正剧烈运动。但确切来说，上面所讲的电缆回路是附加上的。因此，我们相信，使用附加物的运动描述能给出比别的模型更接近真实情况的结果。基于这个发现，正确的模态选择方案将会应用到参与要素法中，也就是说， 4或5个最重要最关键的力配置的低频简谐振动模式，以描述整体的柔性体动作，并采用了幅频响应模式找到高频模式，来描述柔性体关键部位的实际位置。 有趣的物理位置对每个柔性结构。以后将对这一课题进行研究。 6.结论 本文讨论了使用第二法则的柔性体变形非线性描述所产生的影响，并提出了为多柔性体动力学分析正确选择振型的方法。经发现，使用二次项来描述变形，在大的力加载到细长结构上，加上拉伸，屈曲，扭转时是正确的，例如稳定性联接。为扩大模拟范围例如太阳能电池阵列在太空中的展开，只有一个描述变形的模态是可行的，从而产生了选择适当模态的问题。在这里，我们提出用参与要素法，选择简谐振动模式描述主变形，并用幅频响应模式，描述柔性体运动的高频关键部位。变形位移的误差估计可减少模态方法中所有可用的模态数目。参考文献1. 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