线性系统的极小极大控制.doc

线性不确定系统的极小极大控制1 引言系统的稳定性和性能是控制系统设计中至关重要的问题。然而外界的干扰和系统自身的不确定性会破坏系统的稳定性和性能。随着干扰增大系统的状态会逐渐偏离平衡点并且控制的能量也变大。因此，为了保证投入较小的控制能量，使得充分大的干扰对系统的状态和输出的影响降低到最小，并且保证系统是稳定的，我们引入极小极大控制方法。2 基本概念和预备知识（一）定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标，如果存在一个控制律和一个正数，在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且，称为一个性能上界，称为极小极大鲁棒控制律。 （二）性能指标其中， ， 表示系统所有的干扰和容许的不确定性。 （三）物理意义和目的 物理意义：极小极大控制针对干扰和不确定性最坏的情形，讨论如何控制系统的稳定性和性能，使得系统在整个时间过程中状态偏差、控制消耗能量和终值精度等几方面综合性能指标最小。 目的：具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使尽量接近于零状态，这就相当于使积分尽可能地小。另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，这就相当于要求积分尽可能的小。而极小极大控制问题充分考虑到干扰和不确定性的影响，希望在干扰和不确定性尽可能大的情形下寻求一个使得性能指标最小的控制。3 线性不确定连续系统的极小极大控制3.1系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，为系统的状态向量，为系统的控制向量，分别为系统的输出和干扰向量。是已知给定的相应维数的矩阵。是可测的矩阵函数，且对于所有的满足 (3.2)考虑性能指标泛函为 (3.3)其中，表示系统所有的干扰和容许的不确定性。 针对不确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律 (3.4)使得闭环系统渐近稳定且性能指标的值达到最小。将系统(3.1)记为如下的等价系统 (3.5)其中，, 3.2不确定离散系统的极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3), 如果存在对称正定矩阵满足下列不等式， (3.6) (3.7)则 为系统(3.1)的极小极大鲁棒控制器，且性能指标满足证明 首先构造Lyapunov 函数 (3.8)则 (3.9)选择如下局部检验函数 (3.10)将式(3.9)代入式(3.10)后，对式(3.10)关于求导，并且令导数等于零，得到 (3.11)由于，进而 (3.12)同理对上式关于求导，并且令导数等于零，得到 (3.13)又因为，将式(3.13)代入式(3.12)，则有 (3.14)其中， 若不等式(3.7)成立，则可保证。并且由式(3.6)和式(3.7)显然有 可知系统(3.1)的闭环系统是渐近稳定的，即有。对式(3.14)进行移项、积分，整理可得， 4 线性不确定离散系统的极小极大控制4.1系统描述考虑不确定离散系统 (4.1)其中，为系统的可量测状态向量，为系统的控制向量，为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件 (4.2)其中，是已知给定的具有相应维数的矩阵，且属于下列集合 (4.3)考虑如下性能指标 (4.4)其中，是和不确定性有关的，且。根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为 (4.5)其中，。定义 4.184 如果系统干扰的范数是有界的，即则称其是容许的。4.2不确定离散系统的极小极大控制律设计引理 4.1 对于任意的，给定矩阵，都有. (4.6)成立（其中，）。引理 4.2 针对线性离散系统，若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且， 是稳定的。则针对性能指标(4.4)该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得的局部极小极大控制。且在此情况下有其中，为由局部极小极大控制和最坏干扰所构成闭环系统的系数矩阵。为了给出控制器的存在条件，我们作如下定理。定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 (4.7) (4.8)且闭环系统系数矩阵稳定，则 是使性能指标(4.4)（其中取）在最坏干扰下取得极小值的鲁棒控制器，并且有其中，。首先针对辅助系统(4.5)和性能指标(4.4)，选择如下局部检验函数 (4.9)其中，式(4.9)就可写为 (4.10)对式(4.10)关于求导且让导数等于零使其极大化，表明这时的影响程度最大，求得 (4.11)假设 (4.12)可得到 其中，根据引理4.1及式(4.9)有 (4.13)再针对不等式(4.13)右边部分关于求导，并使其导数等于零，得到了局部最坏的干扰 (4.14)根据式(4.12)，显然存在一个 使是成立的，进而有 (4.15)其中， 针对不等式(4.15)的右边部分关于求导，并且让其导数等于零使其极小化，得到局部极小极大控制 (4.16)记上式为 (4.17)由上面所求得的 ，及有下式成立 (4.18)其中， 记，且式(4.16)又可写为 (4.19)若则可保证。根据schur补定理，令，显然式(4.7)和(4.8)成立。最后针对式(4.19)求和整理，并令有 = 。5 结 论 本章针对含有不确定性的线性连续和离散系统