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第三章定义新运算一、 知识要点及基本方法定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如ab=3a-3b，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。二、 例题精讲例1 设 ab都表示数，规定ab表示a的4倍减去b的3倍，即ab=4a-3b,试计算56，65。解56-54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9说明 例1定义的没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例2 对于两个数a、b,规定ab表示3a+2b,试计算（56）7，5（67）。分析 先做括号内的运算。解 （56）7=（53+62）7=277=273+72=95 5（67）=5（63+72）=532=53+322=79说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例3 已知23=234，42=45，一般地，对自然数a、b，ab 表示a(a+1)（a+b-1）.计算（63）-（52）。解 原式=67-56 =336-30例4 规定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。（1） 求1100的值。（2） 已知x10=75,求x.解 （1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=3例5 若对所有b,ab =ax,x是一个与b无关的常数；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33）。求（14）2的值。分析 注意本题有两种运算，由（13）3=1（33），可求出x.解 因为（13）3=1（33），所以（1x）即（x+3）2=xx+3=2xx=3因为（14）2 =（14）2 =（4+2）2 =3例6 如果规定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。解题思路依题意可以看出：定义的新运算为连续三个数的乘积，而且，里的数就是三个连续数中的中间的哪个数，即是2，3，4三个连续的乘积，是3，4，5三个连续睡的乘积，从而不难求出+-+-+-的值。解：原式=8910+789-678+567-456+345-234=720+504+-339+210-120+60-24=1014练习题1、 现规定AB=AB-A+B求56+78的值。2、 对于数a和b规定运算为：ab=a2+b3,请比较23与32的值的大小。3、 现规定：AB表示从A开始的B个连续自然数的和，例如43=4+5+6，求24，85的值。4、 有一个运算符号“”，使下列算式成立：34=2，53=17，68=12，15115=95，求740的值。5、 如果有一种运算是：23=2+3+4=954=5+6+7+8=26按此归计算则有X3=12，求X的值。阿诺德智慧传说在德国的历史上曾发生过这么一件趣事。16世纪时，这个国家是由许多彼此独立的小国组成。其中有两个相邻的小国，原先睦邻友好，人民相互自由进出，连货币都可通用，并且价值相等。后来两国闹了矛盾，虽然人民还可以自由来往，但甲国的国王下令，乙国的钞票若拿到本国使用，100元只能作本国的90元。乙国得知这一消息后，也不示弱，迅即下了一道同样的命令，以牙还牙，即甲国的钞票若拿到本国使用，100元只作本国的90元！一个名叫阿诺德的人，得知这一消息，连忙劝说两国的国王，万万不可如此。否则有人悄悄跑跑腿，便会趁机发了大财。两个国王都不相信。阿诺德见说服不了他们，便自告奋勇亲自实践。两国国王分别给他100元，让他试验。若果真他能利用这条命令发了大财，便收回成命。阿诺德拿了200元钱，一会儿到甲国购货，一会儿又到乙国购货，往返穿梭在两国的商店里，不消几日，便腰缠万贯。接着他便把赚来的大宗财物，送到国王面前。两国的国王见状都惊奇得目瞪口呆。忙问他：“是怎么赚得的？”阿诺德讲述了赚钱方法后，国王都信服地连连点头，深深认识了分裂的危害，于是他们各自都收回了成命，和好如初。你知道，阿诺德是怎样赚钱的吗？解：阿诺德拿着甲国的100元，在甲国的商场购物10元，对方找钱时，他声称要到乙国去，要求找回乙国的钞票，这样，本应找回他90元甲国钞票，他却得到了100元乙国钞票。此时，连同乙国国王给的100元，他有了200元乙国钞票。阿诺德拿着乙国的200元钞票，迅速地跑到乙国商店要20元的货物，在对方找钱时，他又声称自己要到甲国去，要求找回甲国钞