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(AMC8訓練課程2) 排列原理 響尾蛇 SNAKE主題一 : 直線排列 n! 與 P(n,n) 1.1、A、B、C 3人排成一列，方法有_種。解：.答案：6解析：3!61. 2 試求、各是多少？解：.答案：1.3、將4面不同的旗子，全部依上下順序懸掛來表示訊號，共可表示出_種不同的訊號。解：.答案：24解析：此為4面不同旗子之直線排列，共有4!=24種1.4、( A )甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，且甲、乙、丙三人必須相連的排法有多少種?(A)36(B)24(C)18(D)12種解：.解析：將3人視為一體與另外2人排列，共有3!種其中甲、乙、丙三人可以互換又有3!利用乘法原理：3!3!361.5 五個英文字母a、b、c、d、e全取排成一列，有多少種排法？解：.答案：此題為由5個相異的事物中，全取排成一列故方法有種1.6 試求下列各式的值：(1)(2)(3)解：.答案：(1)(2)(3)1.7 今有8個空的坐位排成一列，甲、乙兩人欲入坐，問坐法幾種？解：.答案：甲先坐有8個選擇，乙再坐剩7個選擇，故種1.8 試求下列各式的值：(1)(2)(3)(4)解：.答案：(1)(2)(3)(4)1.9 試求下列各式之值：(1) (2)解：.答案：(1)12(121)132(2)765432150401.10試求+?(A)840(B)810(C)780(D)750解：.解析：7201208401.11 甲、乙、丙、丁四人均不在同一月份出生的情形有_種。解：.答案：11880解析：1211109118801.12、( C )由甲、乙、丙、丁、戊、己6個人當中，任選四位由左至右排成一列，試問有多少種排法？(A)240(B)120(C)360(D)15種解：.解析：1 . 13 由甲、乙、丙、丁、戊、己六人當中任選四位由左至右排成一列，有_種排法。解：.答案：360解析：1 . 14 八個座位排成一列，甲、乙二人選相連的兩個座位入座，問共有多少種坐法？解：.答案：完成這件事可分為兩個步驟：第一步：從八個座位中選出相連的兩個座位，方法有7種第二步：甲、乙二人在所選的兩相連位置入座，方法有2種由乘法原理知，故共有7214種坐法主題2: 排列符號與解方程式理論：.簡例：.2.1 計算下列的數值：()。()。()，n是正整數且n4。解：.解：.答案：()54360()6543360()n（n1）（n2）（n3）答：()60；()360；()n（n1）（n2）（n3）2 . 2 若:5：4，則自然數n之值為何？(A)15(B)14(C)13(D)12解：.解析：5：4 5：45n152.3 ，若n 9，求n？(A)8(B)7(C)6(D)5解：.解析：由定義可得右式故可得(11 n)(10 n)63211 n3n82.4 設nN，求滿足下列各式之n：()：5：4。()4。()2512。解：.解：.解：.答案：()545（n1）（n2）（n3）4n（n1）（n2）n13（n1）（n2）05（n3）4nn15()4（11n）！4（10n）！11n4n7()25121225（n1）25（n2）（n1）（n2）12（n1）25n50n2n212n12n212n640（n4）（n16）0n4，16（n3）n4答：()n15；()n7；()n42 . 5 若42，則自然數n之值為何？(A)12(B)11(C)10(D)9解：.解析：(n3)(n4)42 n10主題3: 有限制條件之排列問題3 . 1 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列，試問：(1)全部的排法有幾種？(2)甲、乙二人必不相鄰的排法有幾種？(3)丙、丁、戊三人相鄰的排法有幾種？答案：(1)相異物直線排列，(種)(2)如圖，不相鄰者最後排，故先排丙、丁、戊、己、庚，種再將甲、乙二人插入“”的空位中，方法種由乘法原理得總共種(3)如圖，我們通常將相鄰者圈起來視為一體，今有5個不同圈圈在排列，方法有種；然而在丙丁戊的這個圈中，三人可自行再排列，方法有種，故總共有種排法3.2若6對夫婦排成一列，且每對夫婦必須相鄰，則共有幾種不同排法？(A)26!(B)(C)(D)解：.解析：6對夫妻排成一列，且每對夫妻必須相鄰，則排法有6!，而夫妻兩兩之間可互換，所以有種排法3 . 3 A、B、C、D、E、等8人排成一列，規定A、B、C、D不得相鄰，則排法有多少種？解：.答案：2880解析：將EFGH 4人先排，ABCD 4人插在其中間位置 4!28803 . 4A、B、C、等8人作直線排列，若A、B、C三人皆不相鄰的排法有幾種？(A)12800(B)14400(C)24600(D)18800種解：.解析：先將D、E、F、G、H排好，再將A、B、C 3人放入下圖間隔中A、B、C的排法有種全部排法有5!12012014400種3 . 5 設甲、乙、丙、等6人排成一列，甲、乙要相鄰但與丙都不相鄰的排法有多少種？解：.答案：3!2!1443 . 6 依下列條件將甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，何種條件下的排法最多？(A)甲、乙相鄰(B)丙、丁不相鄰(C)戊排首位(D)乙不排首位解：.解析：甲、乙相鄰之排法有4! 2!48種丙、丁不相鄰之排法有3! 72種戊排首位之排法有4!24種乙不排首位之排法有5! 4!96種3 . 7 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列，甲排首位且乙不排末位之排法有多少種？(A)12(B)18(C)24(D)36解：.解析：甲 乙不排末位，故乙有3種排法丙、丁、戊三人可任意排在剩下之3位置，有3!種排法故共有3 3! = 18種排法3.8現有4個男生與3個女生要排成一列，若女生之間不排男生，則共有多少種排法？(A)72(B)120(C)720(D)5040解：.解析：先排3個女生後視為一體，再與4個男生排成一列3 . 9 3男3女排成一列，女生不得排在男生中間之排法有_種。解：.解析：男男男女女女 或 女女女男男男則共有3! 3! 272種3.10 4男4女排成一列，男女相間隔之排法有多少種方法？(A)2880(B)576(C)1440(D)1152解：.解析：男生在前時，先排男生之排法有4! 種，再將4位女生排在男生之後，方法有4! 種共有4!4! 種方法同理，女生在前之排法亦有4!4! 種故共有4!4!21152種3 . 11.總共有6個小朋友，要入坐排成一列的3張椅子，只有3人可以入坐，入坐的方式有多少種？解：.答案：654120（種）3 . 12.從6位同學中挑選3位擔任班長、副班長與風紀股長三種職務（一人只能擔任一種職務），有幾種方法？解：.班長副班長風紀股長選法有654120（種）答：120種23 . 13 把3個轉學生分配到現有的15個班上，限制每班最多分配1個，共有多少種分配方式？解：.答案：1514132730（種）答：2730種023 . 15.甲、乙、丙、丁、戊等5人排成一列，求下列各情形的不同方法數：()任意排列。()任取其中三人排成一列。()甲乙丙必相鄰。()甲乙丙不全相鄰。()甲乙丙任二人不相鄰。()甲乙丙中恰二人相鄰。()甲乙不相鄰且丙丁不相鄰。解：.解：.解：.解：.解：.解：.解：.答案：()任意排列有5！120（種）()54360（種）()丁戊()甲乙丙不全相鄰任意排（甲乙丙全相鄰）5！361203684（種）()先排丁、戊，再將甲、乙、丙插入空隙()甲、乙、丙恰有2人相鄰全（三人相鄰）（三人皆分開）120361272（種）()戊n（）n（）n（U）n（甲乙）n（丙丁）n（甲乙丙丁）5！（2！4！2！4！2！2！3！）120（484824）48（種）答：()120種；()60種；()36種；()84種；()12種；()72種；()48種3 . 16.總共有32隊足球隊伍參加2006年在德國舉行的世界杯足球賽，假設每隊都有奪冠的可能，如此分別得到冠軍、亞軍與季軍的隊伍有幾種可能？解：.答案：這相當於由32人搶坐排成一列的三個位置方法數是32313029760（種）答：29760種3.17. 棒球比賽中，每隊要排出9名球員輪流上場打擊，依序稱為第一棒到第九棒，現在某隊選出的9名球員中，甲一定排在第一棒，乙、丙、丁三人則排在三、四、五棒，這三人的棒次可以調換，問該隊的打擊順序有多少種排列方式？解：.答案：先排有規定棒次者，甲只有1種選擇乙、丙、丁三人的棒次可以互換而有3！種方法剩下的5人任意排入所餘的五個棒次，有5！種方法由乘法原理得13！5！720（種）答：720種3 . 18.現有6人入坐排成一列的6張椅子上，入坐的方式有多少種？解：.答案：把椅子依1，2，3，4，5，6的次序編號：()6人中任何1人，都可以入坐第1張椅子，因此入坐的方式有6種()在第1張椅子有人入坐後，剩下的5人中任何1人都可入坐第2張椅子，入坐的方式有5種()在前2張椅子有人入坐後，剩下4人入坐第3張椅子的方式有4種()入坐第4張椅子的方式有3種()入坐第5張椅子的方式有2種()最後剩下1人，入坐第6張椅子，方式有1種上面入坐方式是依序完成，全部有654321720（種）答：720種3 . 19、( C )A、B、C、D、E等8人排成一列，規定A、B、C必須相鄰，但D、E不得相鄰，其排法有多少種？(A)3600(B)3240(C)2880(D)2160解：.解析：將ABC視為一組，如下圖，將D、E分別放入五個間隔內。主題4:AABB排列 部份相同排列理論：.簡例：.4 . 1 把“天天有藍天”一詞的文字重行排列，共可排列出多少個詞？解：.答案：20（個）4 . 2 . 把“清水公園水清清”一詞的文字重行排列，共可排列出多少個詞？解：.答案：這詞有七個字，但有三個“清”與兩個“水”，排列數為420（個）答：420個4 . 3 如下圖所示的棋盤形街道，由A走到B，在每一街角只能選擇向上或向右，這樣的走法有多少種？解：.答案：現拿出一行走的路徑做仔細分析，這路徑可以表示為上右右上上右右上右上表示往上走一街道，右表示向右走一街道，從A依定的規則，需上走4個街道，右走5個街道，每一路徑剛好對應於文字上上上上右右右右右的一種直線排列，這排列數是126（種）故總共有126種走法答：126種4 . 4. 將庭院深深深幾許七個字全取而排列，求下列各情況之方法數。()任意排列。()使其中三個深字不完全連在一起。()使其中三個深字完全分開。()使其中三個深字至少有兩個相鄰。()使其中三個深字恰有兩個相鄰。解：.解：.解：.解：.解：.答案：三個深()任意排列：840（種）()三個深完全相鄰的排法有：庭院幾許5！所求全（三個深完全相鄰）5！840120720（種）()庭院幾許先將庭、院、幾、許作直排再將三個深插入空隙其方法數為4！240（種）()全（完全不相鄰）840240600（種）()恰有兩個深相鄰全（完全分開）（完全相鄰）840240120480（種）答：()840種；()720種；()240種；()600種；()480種4 . 5. 由文字ALASKA的字母重行排列，第一個字母不是A的排列數是多少？解：.答案：先排一個字母，只能還L，S，K其中一種，有3種選法剩下5個字母做不盡相異物的直線排列，有20故有32060（種）04 . 6 如圖所示，由A走到B，只能選擇向上或向右，但必須通過C的走法有多少種？解：.答案：由A走到C有10種方法由C走到B有4種方法故共有10440（種）4 . 7 .如下圖，棋盤形街道，一人由A走到對角B要取捷徑，求下列之走法數。()有幾種不同之走法？()每次需經過D之走法有幾種？()經過C且經過D之走法有幾種？()不經過C且不經過D之走法有幾種？解：.解：.解：.解：.答案：()走捷徑只能向右，向上走，即，A走到B的捷徑走法可視為（）的直線排列排法有210（種）()ADB：105（種）()ACDB：54（種）()n（CD）n（CD）n（U）n（CD）n（U）n（C）n（D）n（CD）ACB：90所求為210105905469（種）4 . 8 .將6個小孩任意排成一縱列，但限制其中一個小孩A一定排在另一個小孩B之前，排法有多少種？解：.答案：先將A，B看成相同物“”，與其他4個小孩作排列即CDEF，方法數有，再把A，B排入因A在B之前，故前面的一定排A，後面的“”一定排B，方法只有一種所求排法有360（種）答：360種04.9. 甲、乙、丙、丁、戊、己等6人排成一列，則：()規定甲一定在乙右方之排法有幾種？()甲在乙之左方，乙又在丙之左之排法有幾種？()甲在乙和丙之左之排法共有幾種？()甲必排在乙丙之左，且丁必排在乙丙之右的排法共有幾種？()甲在乙之左，丙在丁之左，戊與己相鄰之排法共有幾種？解：.解：.解：.解：.解：.答案：()甲、乙視為同物，丙丁戊己，排法：360（種）()甲、乙、丙視為同物，丁戊己，排法：120（種）()依題意有2種，再將、視為同物所求為丁戊己有2240（種）()依題意2種，再將、視為同物所求即為戊己共有260（種）()將甲、乙視為同物，丙、丁視為同物，戊、己綁一起所求答：()360種；()120種；()240種；()60種；()60種4.10 ()由數字5，5，6，6，7，7，7排列得到的七位數有多少個？()承()，超過6,000,000有多少個？解：.解：.答案：()排列數是210（個）()因只把5排在第一個數字時才不會超過6,000,000，現計算5排在第一個的數字總數，這相當於把剩下的5，6，6，7，7，7做直線排列排列數是60，故所求的排列數是21060150（個）答：()210個；()150個主題5:環狀排列個不同事物排成一環狀，則其排法有（種） 個不同事物取出n個排成一環狀，則其排法有（種） 正 n 邊型排列數 矩形排列數 項圈排列=環狀排列 / 2理論區【5.1】A，B，C排成一環狀，請問其排列法有多少種？ Ans:_5.2 A，B，C，D排成一環狀，請問其排列法有多少種？5.3 A，B，C，D，E排成一環狀，請問其排列法有多少種？5.4 A,B,C,D,E，挑2個作環狀排列，請問其排列法有多少種？5.5 A,B,C,D,E，挑3個作環狀排列，請問其排列法有多少種？5.6 A,B,C,D,E，挑4個作環狀排列，請問其排列法有多少種？5.7 A,B,C,D,E，挑5個作環狀排列，請問其排列法有多少種？5.8 A,B,C圍坐正三角形桌，排列數_5.9A,B,C,D,E,F圍坐正三角形桌，排列數_5.10 A,B,C,D圍坐正方形桌，排列數_ 5.11、( C )8人圍一方桌入座，每邊坐2人，有多少種坐法？() 8! () () () 7!解析：() 故共有=10080種坐法5 . 12 在一正方形的四個角落標示1，2，3，4等四個數字，這正方形可轉動但不能翻面，這樣的標示方法有多少種？解：.答案：正方形可轉動，視同環狀排列，所以有6（種）5.16、12人坐方桌，每邊坐3人，不同坐法有_種。解：.解析：若每邊人數相同，正n邊形人數之排列數 = 故有種坐法05.13 從8種顏色的油漆塗料選擇6種顏色，塗在旋轉木馬的6個椅座上，每個椅座只塗一種顏色，共有多少種塗法？解：.答案：由環狀排列公式得塗法有 3360（種）5.14、( B )有紅、白等6顆異色的珠子，串成一手鍊，若紅、白相對，可串成() 8 () 12 () 16 () 24種手解：.解析：() 若紅、白相對，則白珠子的位置隨著紅珠子的位置確定而確定，如圖，白珠子必串在“”的位置 故共有= 12種串法5.15、9顆異色的珠子串成手鐲，共有_種串法。解：.解析：共有= 20160種串法 5.17、從7顆不同顏色的寶石中，任選4顆，可串成_種不同的手鐲。解：.解析： = 105種5.18、紅、綠珠各3顆，紫珠4顆，藍珠2顆，將這些珠子全部串成一條環狀項鍊，共有多少種不同的樣式？ 全部的環狀排列數為 對稱的排列數為 故不對稱的環狀排列數為 共可串成( ) =( + ) = 11580種5. 20. 主人夫婦與賓客二對夫婦共六人圍一圓桌而坐，則下列各情形的坐法分別有幾種？()任意入坐。解：. ()男女相間而坐。解：. ()每對夫婦相鄰。解：. ()男女相間且夫婦相鄰。解：. ()主人夫婦相對而坐。解：.()每對夫婦相對而坐。 解：.()男女相間夫婦不全相鄰。解：.()男女相間但夫婦不相鄰。解：.()恰有二對夫婦相鄰。解：.答案：()5！120（種）()男生先環狀排列2，女生在兩男之間有3！6，所求為3！12（種）()每一對夫婦綁在一起，環狀排列有2每一對夫婦可以左右互換，方法有238所求為2316（種）()三對夫婦環狀排列有24（種）()所求為4！24（種）()男生先環排：2女生依序坐對面，再將男女互換共有228（種）()（男女相間）（男女相間且夫婦相鄰）3！（2）1248（種）()12（種）()所求為32424（種）答：()120種；()12種；()16種；()4種；()24種；()8種；()8種；()2種；()24種主題6 : 重複排列6.1、 某人有3種不同的酒，任意倒入4個不同的酒杯，每個杯子都要倒酒，但酒不能混合，共有() 81 () 64 () 70 () 72種倒解：.解析：() 每一個杯子倒入的酒皆有3種可能 故共有= 81種倒法6.2 5封不同的信，任意投入3個郵筒，共有() 60 () 125 () 243 () 84種方解：.解析：() 每封信皆有3種投法 共有 = 243種投法6 . 3、由1, 2, 3, 4, 5等五個數字排成五位數，其中奇數有_個。解：.答案：72解析：個位數字必排1, 3, 5，有3種排法剩餘4個數字可任意排在萬、千、百、十位數之位置，排法有4!故共有4! 372種排法6 .4、 若數字不許重複，由0、1、2、3、4、5、6、7所構成的三位數為偶數者共有多少個？(A)168(B)150(C)144(D)120個解：.解析：6.5、 渡船三隻，每隻最多可載5人，則6人過渡時，安全渡過的方法有() 729 () 726 () 216 () 213解：.解析：() 每人搭船均有3個選擇，共有種方法 但6人不可在同一船上 故安全渡過的方法有 3 = 726種6.6、五件不同的獎品，任意分給甲、乙、丙、丁四位學生，有多少種分法？若甲至少得一件，有多少種分法？解：.答案：若任意分，因每件獎品皆有4種分法，共有種分法 甲至少得一件之分法 = 任意分法 甲未得之分法 = = 781種分法6.7、3個相異的玩具任意分給4個兒童，每人可兼得，其中某個兒童至少分得一個玩具的分法有() 63 () 80 () 48 () 37解：.解析：() 任意分法 某個兒童未得之分法 = 某個兒童至少分得一個玩具之分法 = 37種06 . 8 DNA（去氧核