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第七节 方向导数与梯度分布图示 引例 数量场与向量场的概念 方向导数的概念 例1 例2 例3 例4 例5 梯度的概念 例6 例7 例8 梯度的运算性质及应用（例9） 例10 等高线及其画法 内容小结 课堂练习 习题87 返回内容要点 一、场的概念：数量场 向量场 稳定场 不稳定场 二、方向导数 定理1 如果函数在点是可微分的，则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且 （7.1）其中为x轴正向到方向l的转角（图8-7-2）. 三、梯度的概念：函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设可微，为常数，则（1） gradgrad grad ;（2） grad grad grad ;（3） grad grad . 四、等高线的概念例题选讲 方向导数例1（E01）求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.解 这里方向即为故轴到方向的转角所求方向导数例2 求函数在点沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?解 由方向导数的计算公式知故(1) 当时，方向导数达到最大值(2) 当时，方向导数达到最小值(3) 当和时，方向导数等于0.例3（E02）求函数在点A(1,0,1)处沿点A指向点方向的方向导数.解 这里为的方向, 向量的方向余弦为又所以 于是 例4 求在点沿方向的方向导数, 其中的方向角分别为60, 45, 60.解 与同向的单位向量因为函数可微分,且故 例5 设是曲面在处的指向外侧的法向量，求函数在此处方向的方向导数.解 令故 方向余弦为所以 例6（E03）(1) 求 (2) 设, 求.解 (1) 这里因为 所以 (2)于是 例7 求函数在点处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零?解 由梯度计算公式得故在处梯度为例8（E04）求函数在点处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少.解 由得从而于是在点处沿方向的方向导数最大,最大值是例9 设为可微函数,求解 由上述公式(3)知grad grad 因为所以grad 注:利用场得概念，我们可以说向量函数grad确定了一个向量场梯度场，它是由数量场产生的. 通常称函数为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场.必须注意，任意一个向量场不一定势势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例10（E05）试求数量场所产生的梯度场, 其中常数 为原点O与点间的距离.解 同理从而 如果用表示与同方向的单位向量,则 上式右端在力学上可解析为, 位于原点而质量为的质点对位于点而质量为 1 的质点的引力.该引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距离平方成反比,该引力的方向
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