不定积分选择题

不定积分题型：一、不定积分概念 考察点1。微分和积分的互逆关系；2。原函数，函数，导函数的概念和关系（函数连续，则原函数连续，函数连续，导函数不一定连续。去积分常数C，奇偶性关系）例1 下列等式中正确的是（）A B. C D E 分析：考察微分和积分的互逆关系 答案（C）例2 若函数f(x)的导函数是则f(x)有一个原函数为（）A B C D E 分析：考察原函数，导函数的概念 （A）二、不定积分的计算考察点1。第一换元积分法（凑微分法）2。第二换元积分法（换原法）3。分部积分法注意 积分结果具有多样性。例3 求方法一：方法二：方法三：结论：单独命题可能性小，平时做题不要怀疑自己的结果。1第一换元积分法例4 设 则为（）分析：简单凑微分法 例5求分析：复杂凑微分法， 练习 例62第二换元积分法1）复合函数代换 2）倒代换 3）根式代换例7已知，则（）分析： 作换元，可得，即，所以练习：设，求解作换元，则有，所以，因此有例8方法二：练习例9分析：对含有根式的积分除能用凑微分法计算外均应先去根号方法一：令 变量还原方法二：令 3.分部积分法例10练习定积分一、 定积分的概念与性质考察点：1。求函数表达式 2。估值 3。比较积分大小例11为连续函数且则分析：利用闭区间的积分为一定值解题 令 则例12的区间为（）A 【1，2】 B 2, 8/3 C 2, 10/3 D 2, 3 E 以上都不对分析：利用定积分估值定理的性质 （B）例13设；则的大小关系分析：定积分的性质，同区间比较函数大小 例14在【0，1】上是非负单调递减函数且则，的大小关系方法一： 所以方法二：做辅助函数二、 定积分的计算考察点：1。重要公式的运用 （牛奶略，对称，周期略，类圆），2，复合函数定积分3。分段函数定积分 4。变上限定积分例15设在区间【a,a】（a0）上连续，为偶函数，则（1） （2）分析： （A）例16=( )A 0 B 2 C D 1 E 不存在解答案是E分析 因为函数在上无界，所以该函数在上不可积。例17(条件充分性判断) 答案是B分析 因为 由于函数在上是奇函数，可知，结果有，即 可见条件(2)充分，而条件(1)不充分。例18（条件充分性判断）由定积分几何意义，有，其中，解答案是A。分析类圆， （几何表示）因为曲线，可表示为，它的图形是以点为圆心，半径为的上半圆周，由定积分的几何意义，可知等于此上半圆的面积，因此，所以条件（1）充分，而条件（2）不充分。例19( )A B C D E 解答案是B复合函数定积分，先换元。作换元，即，则有例20求解 max函数和绝对值函数实质是一种分段函数，对求导分段点用定义，对积分先给出被积函数的表达式 如： 由此可得例21 (条件充分性判断) 极限存在且非零 解答案是A分析 变限定积分 变限定积分是给出函数的又一种形式，考察的内容有1。变上限积分求导2。求函数 3。在一元微分中应用。由定积分不等式性质，知因此，此极限为型未定式的极限，利用洛必达法则，可得由于上棕极限存在且非零，可得，故条件(1)充分，而条件(2)不充分。例22若连续函数满足 则等于分析： 例23设三次多项式 满足则的极大值点为( )A 0 B 1 C -1 D 2 E -2答案是C分析 由题设的等式，有即有解方程组可得，即有，从而可知所以有稳定点，由可知函数的极大值点应为例24设函数在上连续且，则方程在内的实根个数为( )A 4 B 3 C 2 D1 E 0答案是D分析 考虑函数，可知在上连续，且 故由闭区间上连续函数的性质，知方程在内至少有一个实根，又因可知在上严格单调上升，所以方程在有且仅有一个实根。三、 定积分的应用考察点：1。求平面图形的面积 2。经济上的应用例25曲线和直线及所围图形的面积S=( )A 1 B C D E 答案是E分析 先作草图 ，并求出曲线、直线间的交点的坐标点评 选取不同的积分变量，使得表示面积S的定积分也不同，因此计算的难易程度也各不相同，所以应正确地选取积分变量，同时也应掌握这类问题的解题步骤：例26已知某产品产量的变化率是时间t的函数，设此产品t时的产量函数为Q（t），已知Q（0）0，则Q（t）分析： 得到：四、 广义积分考察点：1。广义积分敛散性判断（只讲） 2。求参数值例27广义积分。下列说法正确的是（1）为奇函数，所以值为0 性质广义积分不适用，只有收敛时才可以用这条性质（2） 有定义（3）因为，所以I可能发散也可能收敛 （只要有一个发散就发散）例28(条件充分性判断) 为连续奇函数 答案是E分析 因为，即使条件(1)，(2)同时满足，也不是充分，可举反例如下，在上为连续的奇函数，但由于与都发散，所以也发散，不能保证注意 正确的结论应为，当为上的连续奇函数，且收敛时，才能得出的结论多元微分学考察点：1。多（二）元微分学的概念 2。多（二）元微分学的计算 3。多（二）元微分学极值及其判定一、（二）元微分学的概念从考钢上来说：只考多元函数一阶偏导数的概念及计算、二阶偏导数的概念、二元函数的极值及判定考察点：1。求二元函数略 2。偏导的概念（固定一个量求另一个量的导数）3。微分学概念之间的关系例29设函数Zf(x,y) 则ABCDE以上结果都不对分析，定义 B例30函数在点处偏导数存在是在该点（）A连续的充分条件 B。 连续的必要条件C可微的必要条件 D 可微的充分条件 E 以上都不对分析：考察微积分中几个重要概念间的联系 答案C联系框图：对于一元函数可微可导连续有极限有定义可积分对于多元函数任一方向的方向导数存在偏导数存在连续有极限有定义偏导数连续可微可积分二、二元微分学的计算考察点：1。分段函数 2。抽象函数 3。变限函数 例30 则 分析：分段点的导数用定义求，例31则分析：由定义 而 导数不存在，但非例32设由方程 确定了函数 则分析：这类题最好用的是全微分法所以例33设 其中 具有连续的导数（1）（2）分析：换元 有代入 选D三、二元函数的极值及判定考察点：1。必要条件 2。充分条件例