莫斯科师范大学2000年数学奥林匹克.pdf

莫斯科师范大学2000年数学奥林匹克 郑 元 禄 译 泉州五中 福建 362000 莫斯科师范大学数学系于2000年2月为应 届高中毕业生举办了传统的数学奥林匹克 优胜 者有进入该系的优先权 本文叙述奥林匹克试题 及其解答 11 在正方形ABCD中 点M是边BC的中 点 点N在对角线AC上 并且AN 1 4 AC 试 证 MND 90 证 引线段NP和NQ垂直于直线 AD 图 1 立即可见 NQM DPN 因此 QNM DNP PDN DNP 90 附注 如果在方格纸上作图 那么本题的断言 是显然的 因为MNDR是正方形 图2 图1 第1题图图2 第1题图 21 函数 f x lg x x2 1 是偶函数还 是奇函数 解 很明显对于任一x R x x2 1 0 由此 f x 的定义域为R 研究和 f x f x lg x2 1 x lg x2 1 x lg x2 1 x x2 1 图3 第3题图 x lg1 0 因此 对任何x R f x f x 这表明f x 是奇函 数 31 作函数y 2 x 2 2 x 的图象 解 研究2种情 形 2 x 2 0 即x 1 于是 y 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 0 即x 0 所以t 6小时 51 对于某个自然数n 在数n2的写法中最后 第二位数字是奇数 试证 在这种情形下 数n2的 末位数字是6 证 设b是数 n 0 b 9 的最后一位数字 A是用擦掉b后剩下数字写成的数 则n 10A b 研究数n2 100A2 20Ab b2 100A2的最 后2位数字是2个0 不影响到n2的最后2位数 字 20Ab的最后一位数字是0 最后第2位数字是 342001年第24期 数 学 通 讯 偶数 因为按照条件 n2的最后第2位数字是奇 数 所以b2的十位数字是奇数 在各数字的平方 数中 只有42 16 62 36的十位数字是奇数 16 和36的末位数字是6 因为n2的末位数字与b2 的末位数字相同 即6 61 当参数a取何值时方程x x a有唯一 解 解 方程x x a等价于 x x a 2 x a 0 考察方程x x a 2 它是二次的 当a 1 4 时判别式1 4a是负的 在这种情形下没有 解 当a 1 4 时得x 1 4 条件x a 0满足 因 此原方程有唯一解 如果a 1 4 那么x x a 2 有2个根 x1 2 1 2 1 2a 1 4a 我们来检查 表达式 x1 2 a 1 2 1 1 4 a 是否是非负的 显然 对于区间 1 4 内的任何a值 一个根满足 要求x a 0 当0 a 1 4 时另一根满足这个要 求 因为 1 2 1 1 4 a 0 1 4a 1 0 a 1 4 考虑到a 1 4 得0 a 1 4 因此当a 0 1 4 时有2个根 所以当a 1 4 a 2 在坐标平面上画出坐 标为x y的点集 解 记 arcsinx arcsiny 则 2 按照条件 2 从这些不等式得出 0 如果设 0 那么 2 2 即 2 不 正确 因此0 2 等价于不等式sin sin 2 sin cos 即y 1 x2 cos 0 cos 1 sin2 1 x2 因为方程y 1 x2给出圆x2 y2 1的 上半圆 所以得出如图5所示的集合 附注 可将不等式 2 化为不等式 44数 学 通 讯 2001年第24期 cos 0 即cos cos sin sin 或1 x2 1 y2 1 它 给出圆x2 y2 1的外部 101 在正四棱锥SABCD中 点P是棱AS 的中点 试求经过点P C D的平面截四棱锥所 分成几何体的体积的比 图6 第10题图 解 很明显 截面是 梯形PQCD 图6 PQ CD PQ 1 2 CD 记 V VS ABCD VB为上部 几何体体积 Vn为下部 几何体体积 再用一个平 面SAC截棱锥 它分梯 形PQCD为2个三角形 其面积的比为2 1 底 CD是底PQ的2倍 而高相等 现在棱锥被分成 4个几何体 记V1 VS PCD V2 VS PQC V3 VP ACD 在图6中这个棱锥的2个面画成阴影 V4 VC ABQP V1 V3 公共底面和相等的高SP PA 这 2个棱锥合在一起组成了原棱锥的一半 由此V1 V 4 但是V2 1 2 V1 V 8 底面面积的比1 2和 公共高 由此得 VB V1 V2 V 4 V 8 3 8 V Vn V VB 5 8 V VB Vn 3 5 译自俄罗斯 数学教学 2001年第2期 2001年 数学通讯 双期学生阅读 总目次 题 名 作 者 期 页 代数 同范围得正 异范围得负 高一 崔永富2 4 4 求数列极限的三个原则 高二 高三 曾安雄2 4 8 等比数列计算题中错解四例 高二 高三 张贵钦2 4 9 系数成等差数列的一元二次方程根的讨论 高二 高三 徐建义 孙圣金2 4 15 一道陈题新议 高二 高三 马子宏2 4 16 关于三角函数单调区间的补充说明 高一 罗中寿6 1 函数y Asin wx 解析式的求法 高一 胡高志6 2 谈正弦曲线的应用 高一 陈金跃6 4 巧用z与 z的关系解题 高二 杜典意6 7 复数中一个容易犯的错误 高二 罗伍生6 10 利用复数的性质z z z 2 解高考题 高二 高三 赵成海6 13 例谈高考中有关函数图象对称的问题 高三 陈上太6 16 求三角函数单调区间的错误分析 高一 高二 高三 陈 峰6 18 一道求字母范围例题的错解辨析 高二 高三 王光富 19 谈谈周期函数 高一 高二 高三 甘志国6 22 求代数式最大 最小 值的基本原理 高一 高二 高三 宗发奎6 24 如何多了一倍 需重视角范围的挖掘和应用 高一 高三 李勇伟8 1 关于sin cos 的符号规律 高一 高三 杨作义8 2 注意三角形中的一个隐含条件 高一 高三 廖应春8 3 活用课本习题结论事半功倍 高一 高三 玉 叶8 3 根据条件判断三角形的形状 高一 高三 张桃生8 5 复数三角形式的 五官 高二 曾安雄8 10 如何理解arg z 高二 高三 张泽廷8 11 商是纯虚数的几何意义及其应用 高二 高三 朱奇勇8 13 用整体思想解复数题 高二 高三 李存虎8 13 更正一道模拟题的参考答案 高二 高三 黄玉山8 19 对一道习题的思考 高一 雷 勇8 21 方程ax2 b x c 0根的讨论 高二 高三 熊 骏 邓家谦8 26 一道函数题的复数解法 高一 高二 高三 贾炳麟8 27 巧用函数的单调性解方程 高一 高二