蒲丰投针问题.doc

蒲丰投针问题1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。投针步骤这一方法的步骤是： 1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线。 2) 取一根长度为l（ld） 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m 3）计算针与直线相交的概率18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l（lz，x²+y²z²，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x²+y²=z²围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=(z²/4-z²/2)/z²=(-2)/4.因为对于每一个z，这个概率都为(-2)/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=(-2)/4，命题得证。 为了估算的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+yz，x²+y²z²等价于（x+y-z）（x²+y²-z²）0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。若进行了m次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于(-2)/4，令n/m=(-2)/4，解得=4n/m+2，即可估计出值。 值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。投针试验计算的最为稀奇的方法之一计算的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的 布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含的表示式如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/扔的次数越多，由此能求出越为精确的的值 公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出的值为31415929准确到小数后6位不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L巴杰的质疑通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现，这是着实令人惊讶的！下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。 现在设想把圆圈拉直，变成一条长为d的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。 由于圆圈和直线的长度同为d，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数期望也是一样的。这就是说，当长为d的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。现在转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例系