概率论第三章习题课(1).doc

青岛大学讲稿 第三章 连续型随机变量讲 授 内 容备 注3.4 随机变量函数的分布一、一维随机变量函数的分布定理1.设x为连续型随机变量，为其密度函数。又设严格单调，其反函数具有连续导数。则也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 (1)其中，证明：不妨设是严格单调上升函数，这时它的反函数也是严格单调上升函数，于是 （）对上式关于y求导,得同理，可证当是严格单调下降函数时，有所以 定理1在使用时的确很方便，但它要求的条件“函数严格单调且反函数连续可微”很强，在很多场合下往往不能满足。事实上这个条件可以减弱为“逐段单调，反函数连续可微”。这时密度公式应作相应的修改。 定理2.若f(x)在不相重叠的区间上逐段严格单调，其反函数分别为，而均为连续函数。那么为连续型随机变量，其密度函数为 (2)例1 设，则证：为单调函数，则反函数所以由定理1，得h的分布密度为例2.若，则。证：为单调函数，且反函数所以由定理1，得h的分布密度为所以 例3.设,试求的密度函数。解法1：（先求其分布函数，然后再求其密度函数分布函数法）当y0,显然有 当y0,有 所以，解法2：（利用定理2）分段单调，在（-，0）中反函数，而在0,+）中反函数,因此根据定理2，知道h的密度函数为（当y0时）所以 上述密度函数为分布的密度函数在n=1时的特例，也就是说N(0，1)变量的平方是自由度为1的变量。 例4设随机变量的分布函数为严格单增的连续函数，证明证明： 取值于0，1，取值于0，1 当 时， 当 时，当 时， 所以，二、二维随机变量函数的分布问题：已知的联合密度函数为，是二元可测函数，求随机变量的分布则同上面一样讨论可得到方法：1.和的分布 上式关于z求导得 (3)如果x与h相互独立时，有，从而 (4)由于对称性，还可得 (5)(4)和(5)是著名的卷积公式（褶积公式），简单地记作 例5、设x与h相互独立且都服从N（0，1）.证明: 证：由卷积公式故 注：1若于，则。2若独立同分布于，则3若相互独立，则这个事实有时也称为正态分布具有可加性。在前面已经证明了普阿松分布、二项分布具有可加性，这里也说明了正态分布具有可加性，其实还有其他一些分布也具有可加性，如分布。例6（教材135页） 。解：当时，显然当时， 所以， 由此可知，分布对它的第一个参数具有可加性。由于为参数为n的分布，因此分布也具有可加性。特别的当时，随机变量x的密度函数为： 称服从自由度为n的分布，记作。这是数理统计中的一个重要分布。特别地，当时，G(1,l)就为参数为l的指数分布。由此又可以得到另两个结论：(1)m个独立同分布的指数变量之和为G-分布变量，即(2) m个独立同分布的变量之和为变量(分布具有可加性)例7 如果是n个相互独立的随机变量，且都服从N（0，1），并且都服从分布，且仍然相互独立，其平方和服从自由度为n的-分布。即n个相互独立的N（0，1）的平方和是一个参数为n的-分布，习惯上独立变量的个数称为“自由度”。例8 设独立同分布于，求的密度函数 解： 由题意 由卷积公式： 1）当时， 2）当时 3）当时， 3）当时， 所以， X 2 zY z1）当时， 2）当时 3）当时，3）当时， 所以，2差的分布 设密度函数为，求的分布。 (6) 令 则，上式关于y求导，得z的密度函数为 (7)3积的分布 设密度函数为，求的分布。 （8）4. 商的分布 设密度函数为，求的分布。令 则，所以 上式关于z求导，得z的密度函数为 （8）特别，当x与h相互独立时，有 （9）例9 设x与h相互独立，分别服从自由度为n及m的-分布,证明 上式的密度函数的分布称为参数为的-分布，记作它是数理统计中最常用的分布之一。 （教材137页）例10 设，且相互独立，证明 （教材139页）例11 设独立同分布于，试求的概率密度。解：由于，所以中分母为0的情况可以不以考虑。 cauchy分布例12设独立同分布于，独立同分布于，求：的密度函数 解： 所以， Relly分布三、随机向量的变换1变量变换法定理4 设的联合分布密度函数为，若对于函数 满足下述条件1） 存在唯一反函数 2） 则的联合密度函数为 （10）这个方法实际上就是二重积分的变量变换法。例13设x与h独立同分布，都服从，记 试求(U,V)的联合密度函数，问U与V是否独立?解：令，则反函数为所以得(U,V)的联合密度函数为 这是一个二元正态分布得密度函数，其边际分布为，所以由知U与V相互独立。 2增补变量法 增补变量法实质上是变换法的一种应用：为了求出二维连续型随机变量(x,h)的函数U=g(x,h)的密度函数，增补一个新的随机变量V= h(x,h)，一般令V=x或V=h.先用变换法求出(U,V)的联合密度函数j(u,v)，再对j(u,v)关于v积分，从而得出关于U的边际密度函数. 例14 设x与h相互独立，其密度函数分别为 ，则的密度函数为 证：设，则的反函数为，所以得(U,V)的联合密度函数为对g(u,v)关于v积分得 例15、设x与h为相互独立的随机变量，且具有相同的指数分布密度函数求的联合密度函数。解：对做变换因此所以,当时当时，可以验证这里的a，b是相互独立的，分别具有密度例16、设与相互独立，且均服从N（0，1）试证是相互独立的。证：（U，V）的联合分布函数为当s0时，做变换，反函数有两支 与 考虑到反函数具有两支，分别利用两组变换得对F（u,v ）求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）所以U，V两随机变量独立。 习题课 连续性随机变量及其分布内容小结一、分布函数一维 定义 性质 1) 单调性 2) 极限 3) 左连续型 二维 定义 性质 1) 单调性 2) 极限 3) 左连续型 4）对任意的边际分布 二、连续型随机变量、密度函数一维 定义： 性质：(1) (2) (3) (4) 二维 定义： 性质：(1) (2) （4） 边际分布：三、独立性 分布函数法四 随机变量函数的分布 一维:（1）和的分布 （独立） （2）商的分布 （3）差的分布 （4）积的分布3. 随机向量的变换，则则的联合密度函数为五.常见的连续型分布 (1)均匀分布 (2)指数分布 (3)正态分布 若 (4) 分布 例题分析例1、设随机向量(x,h)的概率密度为试求：(1) (x,h)的分布函数；(2) (x,h)边际概率密度；(3) 解：(1)当时当时当时当时所以(2) 当时所以 当时所以 (3) 例2、设(x,h)服从二维正态分布，其密度函数为试求（1）的密度函数（2）解：（1）当时，当时所以（2）或例3、设x和h是两个相互独立的随机变量，其密度函数分别为： ， 试求z=x+h的概率密度。 解：代入卷积公式 由 当z0时，当01时, 例4、 设x与h相互独立，且均服从(0,a)上的均匀分布，求 的分布密度. 解：（解法一）直接代入公式 当时当时（解法二）用分布函数定义求因为x与h相互独立，所以其联合密度函数为显然当z0时，当01时, 所以 例5、设(x,h)服从二维正态分布，其密度函数为： 求解： 令例6、设x与h相互独立，且其密度函数均为：求 的分布密度。解：由题意x与h相互独立，于是(x,h)的分布密度显然当z0时，当z0时, 令故的分布密度为 例7、设（x，h）的密度函数为： 求的密度函数。 解：(解法一)用分布函数的定义求的分布函数显然当z0时，当z0时 （解法二）用公式求（1）当z0时 （不易求出）（2）当z0时当z0时， 例8、若x与h相互独立，均服