离散型随机变量的期望(一).ppt

离散型随机变量的期望 设离散型随机变量可能取的值为 为随机变量的概率分布列 简称为的分布列 取每一个值的概率则称表 对于离散型随机变量 确定了它的分布列 就掌握了随机变量取值的统计规律 但在实际应用中 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征 最常用的有期望与方差 复习引入 思考下面的问题 某射手射击所得环数 的分布列如下 在100次射击之前 试估计该射手100次射击的平均环数 分析 平均环数 总环数 100 所以 总环数约等于 4 0 02 5 0 04 6 0 06 10 0 22 100 故100次射击的平均环数约等于4 0 02 5 0 04 6 0 06 10 0 22 8 32 一般地 随机变量 的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值 简称为期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 结论1 则 结论2 若 B n p 则E np 一 数学期望的定义 结论3 若随机变量 服从几何分布 则E 1 p 所以 的分布列为 结论1 则 E 0 Cn0p0qn 1 Cn1p1qn 1 2 Cn2p2qn 2 k Cnkpkqn k n Cnnpnq0 P k Cnkpkqn k 证明 np Cn 10p0qn 1 Cn 11p1qn 2 Cn 1k 1pk 1q n 1 k 1 Cn 1n 1pn 1q0 np p q n 1 np kCnk nCn 1k 1 结论2 若 B n p 则E np 1 随机变量 的分布列是 1 则E 2 随机变量 的分布列是 2 4 2 若 2 1 则E 5 8 E 7 5 则a b 0 4 0 1 3 1 若E 4 5 则E 2 E E 4 5 0 例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 求他罚球1次的得分 的期望 例2 随机抛掷一个骰子 求所得骰子的点数 的期望 例3 有一批数量很大的产品 其次品率是15 对这批产品进行抽查 每次抽出1件 如果抽出次品 则抽查终止 否则继续抽查 直到抽出次品 但抽查次数最多不超过10次 求抽查次数 的期望 结果保留三个有效数字 注 若随机变量X服从两点分布 则EX p 练习 两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数 1 2的分布列是 如果两台车床的产量相同 哪台车床更好一些 不一定 其含义是在多次类似的测试中 他的平均成绩大约是90分 例4 一次单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项正确 每题选对得5分 不选或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值 解 设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是 和 则 B 20 0 9 B 20 0 25 所以E 20 0 9 18 E 20 0 25 5 由于答对每题得5分 学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5 和5 这样 他们在测验中的成绩的期望分别是 E 5 5E 5 18 90 E 5 5E 5 5 25 思考 学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗 他的均值为90分的含义是什么 例5 06广东高考 某运动员射击一次所得环数X的分布如下 现进行两次射击 以该运动员两次射击中的最高环数作为他的成绩 记为 1 求该运动员两次都命中7环的概率 2 求 的分布列 3 求 的数学期望 练习 某商场的促销决策 统计资料表明 每年端午节商