D9_3方向导数与梯度.ppt

第九章 第三节 一 方向导数 机动目录上页下页返回结束 二 梯度 三 物理意义 方向导数与梯度 一 方向导数 定义 若函数 则称 为函数在点P处沿方向l的方向导数 在点 处 沿方向l 方向角为 存在下列极限 机动目录上页下页返回结束 记作 定理 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在 证明 由函数 且有 在点P可微 得 机动目录上页下页返回结束 故 机动目录上页下页返回结束 可微二元函数 为 的方向导数为 向角 机动目录上页下页返回结束 例求 在原点 处沿非零矢量 解用定义计算 的方向导数 机动目录上页下页返回结束 特别 当l与x轴同向 当l与x轴反向 思考 第二个结果为什么是负的 机动目录上页下页返回结束 方向导数与可微之间的关系 显然在原点即不可导也就自然不可微也 可微性 依据方向导数的定义 有 例1 求函数 在点P 1 1 1 沿向量 3 的方向导数 机动目录上页下页返回结束 例2 求函数 在点P 2 3 沿曲线 相切且朝x增大方向的方向导数 解 将已知曲线用参数方程表示为 它在点P的切向量为 机动目录上页下页返回结束 例3 设 是曲面 在点P 1 1 1 处 指向外侧的法向量 解 方向余弦 而 同理得 方向 的方向导数 在点P处沿 求函 机动目录上页下页返回结束 数 二 梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向 f变化率最大的方向 模 f的最大变化率之值 方向导数取最大值 机动目录上页下页返回结束 1 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数f P 在点P处的梯度 记作 gradient 在点 处的梯度 机动目录上页下页返回结束 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 向量 机动目录上页下页返回结束 称为函数f的等值线 等量线 2 梯度的几何意义 等高线 等值线 机动目录上页下页返回结束 则L 上点P处的法向量为 同样 对应函数 有等值面 等量面 当各偏导数不同时为零时 其上 点P处的法向量为 3 梯度的基本运算公式 机动目录上页下页返回结束 函数在一点的梯度垂直于该点等值面 或等值线 指向函数增大的方向 综上所述 机动目录上页下页返回结束 例4 国家大剧院的屋顶为椭球面 表面光滑无摩擦 在无风的雨天 雨水落在上面向下 流 求雨滴下滑曲线的方程 解 与待求投 分析 雨水会沿着z变化最快方向 也就是沿着与z的方向导数取得最大值的方向 上看即沿着平行于函数z的梯度方 向运行 流下 流下 从平面 由于重力作用 机动目录上页下页返回结束 影曲线的切矢量 平行 空间曲线为 方程 得平面投影曲线 例5 证 试证 机动目录上页下页返回结束 三 物理意义 函数 数量场 数性函数 场 向量场 矢性函数 可微函数 梯度场 势 如 温度场 电位场等 如 力场 速度场等 向量场 注意 任意一个向量场不一定是梯度场 机动目录上页下页返回结束 例6 已知位于坐标原点的点电荷q在任意点 试证 证 利用例4的结果 这说明场强 处所产生的电位为 垂直于等位面 且指向电位减少的方向 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 方向导数 三元函数 在点 沿方向l 方向角 的方向导数为 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向l 方向角为 机动目录上页下页返回结束 2 梯度 三元函数 在点 处的梯度为 二元函数 在点 处的梯度为 3 关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 设函数 1 求函数在点M 1 1 1 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数 机动目录上页下页返回结束 M 1 1 1 处切线的方向向量 提示 机动目录上页下页返回结束 2 求函数在M 1 1 1 处的梯度与 1 中切线方向 的夹角 提示 机动目录上页下页返回结束 提示 2 求函数 在椭球面 上点 处沿外法线方向的方向导数 补充题1 函数 在点 处的梯度 解 则 注意x y z具有轮