论文浅谈勾股定理的证明方法.doc

xx 师范学院 本科生毕业论文 设计 题 目 浅谈勾股定理的证明方法 专 业 数学与应用数学 院 系 数学与计算机科学学院 学 号 xxxxxx 姓 名 xxx 指导教师 xxxx 答辩时间 二 0 一二年五月 论文工作时间 2011 年 12 月至 2012 年 5 月 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 浅谈勾股定理的证明方法 学 生 xxx 指导老师 xxx 摘 要 本文讨论了勾股定理的证明和思想 这个定理在中国又称为 商高定理 在外国称为 毕达哥拉斯定理 或者 百牛定理 毕达哥拉斯发现了这个 定理后 即斩了百头牛作庆祝 因此又称 百牛定理 法国 比利时人又 称这个定理为 驴桥定理 勾股定理 它描述的是直角三角形三边的数量关系 为 什么叫勾股定理呢 这是中国古代的一种说法 所谓勾股 古人把一个弯曲成直角 的手臂 上臂称为勾 前臂称为股 所以称之为勾股定理 勾股定理是数学中发现 最早的一个定理 勾股定理是几何学中的明珠 所以它充满魅力 千百年来 人们对它的证明 趋之若骛 其中有著名的数学家 也有业余数学爱好者 有普通的老百姓 也 有尊贵的政要权贵 甚至有国家总统 也许是因为勾股定理既重要又简单 更容 易吸引人 反复被人论证 1940 年出版过一本名为 毕达哥拉斯命题 的勾股定 理的证明专辑 其中有的十分精彩 有的十分简洁 有的因为证明者身份的特 殊而非常著名 关键词 勾股定理 证明 思想 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 Application of the Pythagorean theorem in mathematics Undergraduate xxxx Supervisor xxxx Abstract This article discusses the proof of Pythagorean Theorem and geometry This theorem in China is also known as the business in foreign high theorem called the Pythagorean theorem or hundred cattle theorem Pythagoras discovered this theorem namely cut per cow for celebration also known as the hundred cattle theorem the French Belgians and called the theorem as the bridge of asses the Pythagorean Theorem which describes the relationship between the number of the three side of a right triangle Why is called the Pythagorean Theorem This is an ancient Chinese saying The so called Pythagorean the a bent at a right angle to the arm upper arm called hook forearm known as the unit so called the Pythagorean theorem The Pythagorean Theorem is a mathematical was found in one of the earliest theorem The Pythagorean Theorem is the geometry of the Pearl therefore it is full of charm For thousands of years people on the proof of it like a flock of ducks including the famous mathematician also have spare math enthusiasts there are ordinary people but also a distinguished political power and even the country s president Maybe because of the Pythagorean Theorem is important and simple easier to attract people repeatedly being demonstrated 1940 published a book entitled the Pythagorean proposition the proof of Pythagorean Theorem album some of which is very exciting and some very simple because some proof of identity of special and very famous Keywords Pythagorean theorem proof geometry xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 目 录 绪论 1 1 勾股定理 1 1 1 勾股定理的历史 1 1 2 勾股定理的趣事 2 2 勾股定理的证明 4 2 1 传说中毕达哥拉斯的证法 4 2 2 赵爽弦图的证法 5 2 3 刘徽的证法 5 2 4 美国第 20 任总统茄菲尔德的证法 6 2 5 其他证法 7 2 5 1 欧几里德证明方法 7 2 5 2 梅文鼎证明 8 2 5 3 利用相似三角形性质证明 9 3 勾股定理体现的数学思想 9 3 1 数形结合的思想 10 3 2 方程思想 10 3 3 分类思想 11 3 4 转化的思想 12 总 结 13 参考文献 14 致 谢 15 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 1 绪论 勾股定理是 人类最伟大的十个科学发现之一 是初等几何中的一个基本 定理 对于勾股定理的由来 各国各民族都有不同的文字记载 但中华民族是最 早发现勾股定理的民族之一 勾股定理是一坛千年佳酿 令人陶醉神往 它以其 简洁 优美的形式 丰富深刻的内容 展现了自然界的和谐与唯美 中国古代数 学家们对于勾股定理的发现和证明 在世界数学史上具有独特的贡献和地位 1 勾股定理 勾股定理 在我国 把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这 一特性叫做勾股定理或勾股弦定理 古埃及人利用打结作直角三角形 又称毕 达哥拉斯定理或毕氏定理 Pythagoras Theorem 定理 如果直角三角形两直角边分别为 斜边为 那么 abc 222 abc 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 1 1 勾股定理的历史 这个定理在中国又称为 商高定理 在外国称为 毕达哥拉斯定理 为 什么一个定理有这么多名称呢 商高是公元前十一世纪的中国人 当时中国的朝 代是西周 是奴隶社会时期 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 周髀 算经 中记录着商高同周公的一段对话 商高说 故折矩 勾广三 股修四 经隅五 商高那段话的意思就是说 当直角三角形的两条直角边分别为 3 短 边 和 4 长边 时 径隅 就是弦 则为 5 以后人们就简单地把这个事实说 成 勾三股四弦五 由于勾股定理的内容最早见于商高的话中 所以人们就把 这个定理叫作 商高定理 毕达哥拉斯 Pythagoras 是古希腊数学家 他是公元前五世纪的人 比 商高晚出生五百多年 希腊另一位数学家欧几里德 Euclid 是公元前三百年左 右的人 在编著 几何原本 时 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的 所 以他就把这个定理称为 毕达哥拉斯定理 以后就流传开了 赵爽 东汉末至三国时代吴国人 为 周髀算经 作注 并著有 勾股圆方 图说 赵爽的这个证明可谓别具匠心 极富创新意识 他用几何图形的截 割 拼 补 来证明代数式之间的恒等关系 既具严密性 又具直观性 为中国古代以形证数 形数统一 代数和几何紧密结合 互不可分的独特风格树立了一个典范 以后的数 学家大多继承了这一风格并且代有发展 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时 也是用的以形证数的方法 只是具体图形的分合移补略有不同而已 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明 在世界数学史上具有独特的 贡献和地位 尤其是其中体现出来的 形数统一 的思想方法 更具有科学创新 的重大意义 事实上 形数统一 的思想方法正是数学发展的一个极其重要的 条件 正如当代中国数学家吴文俊所说 在中国的传统数学中 数量关系与空间形 式往往是形影不离地并肩发展的 十七世纪笛卡儿解析几何的发明 正是中国这 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 2 种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续 中国最早的一部数学著作 周髀算经 的开头 记载着一段周公向商高请教数学知识的对话 周公问 我 听说您对数学非常精通 我想请教一下 天没有梯子不可以上去 地也没法用尺子 去一段一段丈量 那么怎样才能得到关于天地的数据呢 商高回答说 数的产 生来源于对方和圆这些形体的认识 其中有一条原理 当直角三角形 矩 得到的 一条直角边 勾 等于3 另一条直角边 股 等于4的时候 那么它的斜边 弦 就必定是5 这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的 1 2 勾股定理的趣事 学过几何的人都知道勾股定理 它是几何中一个比较重要的定理 应用十 分广泛 迄今为止 关于勾股定理的证明方法已有 500 多种 其中 美国第二 十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 总统为什么会想到去证明勾股定理呢 难道他是数学家或数学爱好者 答 案是否定的 事情的经过是这样的 在 1876 年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外 有一位中年人正在 散步 欣赏黄昏的美景 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 他走 着走着 突然发现附近的一个小石凳上 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什 么 时而大声争论 时而小声探讨 由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩 走去 想搞清楚两个小孩到底在干什么 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在 地上画着一个直角三角形 于是伽菲尔德便问他们在干什么 只见那个小男孩头也不抬地说 请问先生 如果直角三角形的两条直角 边分别为 3 和 4 那么斜边长为多少呢 伽菲尔德答到 是 5 呀 小男 孩又问道 如果两条直角边分别为 5 和 7 那么这个直角三角形的斜边长又 是多少 伽菲尔德不加思索地回答到 那斜边的平方一定等于 5 的平方加 上 7 的平方 小男孩又说道 先生 你能说出其中的道理吗 伽菲尔德 一时语塞 无法解释了 心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步 立即回家 潜心探讨小男孩给他留下的难题 他经过反复的思考与演算 终于弄清楚了其中 的道理 并给出了简洁的证明方法 他是这样分析的 如图所示 c c b b a a B C E A D xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 3 因为 2 1 2 abcd Sab 梯形 22 1 2 2 aabb abcdAEDEBCCED SSSS AAA梯形 22 1111 2 2222 abbacabc 所以比较以上两个式子可得 222 cab 1876 年 4 月 1 日 伽菲尔德在 新英格兰教育日志 上发表了他对勾股定 理的这一证法 1881 年 伽菲尔德就任美国第二十任总统 后来 人们为了纪念 他对勾股定理直观 简捷 易懂 明了的证明 就把这一证法称为 总统 证 法 勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一 例如从勾股定理出发逐渐 发展了开平方 开立方 用勾股定理求圆周率 据称金字塔底座的四个直角就是 应用这一关系来确定的 至今在建筑工地上 还在用它来放线 进行 归方 即放 成直角 的线 正因为这样 人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了 1955 年希腊发行了一张邮票 图案是由三个棋盘排列而成 这张邮票是纪念二千 五百年前希腊的一个学派和宗教团体 毕达哥拉斯学派 它的成立以及在 文化上的贡献 邮票上的图案是对勾股定理的说明 希腊邮票上所示的证明方法 最初记载在欧几里得的 几何原本 里 尼加拉瓜在 1971 年发行了一套十枚的纪念邮票 主题是世界上 十个最重 要的数学公式 其中之一便是勾股定理 2002 年的世界数学家大会在中国北京举行 这是 21 世纪数学家的第一次 大聚会 这次大会的会标就选定了验证勾股定理的 弦图 作为中央图案 可 以说是充分表现了我国古代数学的成就 也充分弘扬了我国古代的数学文化 另外 我国经过努力终于获得了 2002 年数学家大会的主办权 这也是国际数学 界对我国数学发展的充分肯定 今天 世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图 它在国外被称为 唐图 Tang ram 意思是中国图 不是唐代发明的图 七巧板的历史也许应该追 溯到我国先秦的古籍 周髀算经 其中有正方形切割术 并由之证明了勾股 定理 而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形 即弦图 还不是七巧板 现在的七巧板是经过一段历史演变过程的 甚至还有人提出过这样的建议 在地球上建造一个大型装置 以便向可能 会来访的 天外来客 表明地球上存在有智慧的生命 最适当的装置就是一个 象征勾股定理的巨大图形 可以设在撒哈拉大沙漠 苏联的西伯利亚或其他广 阔的荒原上 因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理 所以用它来 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 4 做标志最容易被外来者所识别 2 勾股定理的证明 勾股定理是数学中有名的定理 它是几何学的基础知识 在 基础几何学 中对它进行了详细的介绍 目前勾股定理的证明方法已有很多种 基本上每种证 明方法大都把几何知识与代数知识相结合 充分体现了数形结合思想的魅力 转化思想的巧妙 本文就讨论几种具有代表性的证明方法以及一些具有探究性的 证明方法 窥视勾股定理的奥妙 2 1 传说中毕达哥拉斯的证法 b a a b b a a b a a b b c c c c c c b b a 左边的正方形是由 1 个边长为的正方形和 1 个边长为的正方形以及 4ab 个直角边分别为 斜边为 的直角三角形拼成的 右边的正方形是由 1 个ab c 边长为 的正方形和 4 个直角边分别为 斜边为 的直角三角形拼成的 abc 因为这两个正方形的面积相等 边长都是 所以可以列出等式 ab 22 11 44 22 ababcab 化简得 222 abc 在西方 人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的 但遗憾的是 他的证明方法已经失传 这是传说中的证明方法 这种证明方法简单 直观 易懂 最直观的方式展现出来了勾股定理奥妙 2 2 赵爽弦图的证法 c b C B A D HE GF b a c G D A C B F EH xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 5 一般认为 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家 是公元3世纪三国 时的赵爽 赵爽为作注 给出弦图和一名为 勾股圆方图说 的短文 以 为直角边 以 为斜边作四个全等的直角三角形 则每个abba c 直角三角形的面积等于 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 1 2 ab 因为 RT DAHART ABEA 所以HDAEAB 因为90HADHDA 所以90EABHAD 因为EFFGGHHEba 所以 2 ABCDcc 是一个边长为的正方形 它的面积等于 因为90HEF 所以 EFGHba 是一个边长为的正方形 它的面积等于 2 2 2 1 4cabab 222 abc 赵爽的这个证明可谓别具匠心 极富创新意识 他用几何图形的截 割 拼 补来证明代数式之间的恒等关系 既具严密性 又具直观性 为中国古代以形 证数 形数统一 代数和几何紧密结合 互不可分的独特风格树立了一个典范 以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明 在世界数学史上具有独特 的贡献和地位 尤其是其中体现出来的 形数统一 的思想方法 更具有科学创 新的重大意义 事实上 数形统一 的思想方法正是数学发展的一个极其重要 的条件 正如当代中国数学家吴文俊所说 在中国的传统数学中 数量关系与 空间形式往往是形影不离地并肩发展着的 十七世纪笛卡儿解析几何的发明 正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续 2 3 刘徽的证法 c D a b A E B C 第一种方法 边长为 的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为 cab 斜边为 的直角三角形围在外面形成的 因为边长为 的正方形面积加上 4 个直c xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 6 角三角形的面积等于外围正方形的面积 所以可以列出等式 22 1 4 2 cabab 化简得 222 abc 第二种方法 边长为 的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为 斜cab 边为 的三角形拼接形成的 不过中间缺出一个边长为的正方形 小洞 cba 因为边长为 的正方形面积等于 4 个直角三角形的面积加上正方形 小洞 的c 面积 所以可以列出等式 22 1 4 2 cbaab 化简得 222 abc 这种证明方法很简明 很直观 它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题 思想和对数学的钻研精神 是我们中华民族的骄傲 2 4美国第 20 任总统茄菲尔德的证法 c c b b a a B C E A D 以 为直角边 以 为斜边作两个全等的直角三角形 则每个直角三abc 角形的面积等于 把这两个直角三角形拼成如图所示形状 使 1 2 abAE 三点在一条直线上 B 因为EADCBERtRtAA 故有 ADEBEC 90AEDADE 90AEDBEC 所以 180 90 90 DEC 即 DEC 是一个等腰直角三角形 它的面积等于 2 1 2 C 又因为 90 90DAEEBC 所以 ADBCA 所以 ABCD 是一个直角梯形 它的面积等于 2 1 2 ab 则 22 111 2 222 ababc xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 7 所以 222 abc 这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式 从而使证明更加 简洁 它在数学史上被传为佳话 2 5 其他证法 除了前面讨论的证明方法 下面讨论一下其他的一些证明方法 同样非常 值得我们探究学习 2 5 1 欧几里德证明方法 在欧几里得的 几何原本 一书中给出勾股定理的以下证明 设 ABC为 一直角三角形 其中A为直角 从A点划一直线至对边 使其垂直于对边 延长 此线把对边上的正方形一分为二 其面积分别与其余两个正方形相等 a a c c b b M L K G DE H F C A B 在定理的证明中 我们需要如下四个辅助定理 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等 则两三角形全 等 定理 SAS 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积 做三个边长分别为 的正方形 把它们拼成如图所示形状 使 abcHC 三点在一条直线上 连结 过作 交于点 交B BF CDCCLDE ABM 于点 DEL 因为 AFAC ABAD FABGAD 所以 FABGAD 因为 的面积等于FAB 2 1 2 a 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半GAD 所以矩形 ADLM 的面积 等于 2 a 同理可证 矩形 MLEB 的面积等于 2 b 因为正方形 ADEB 的面积 矩形 ADLM 的面积 矩形 MLEB 的面积 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 8 所以 即 222 bac 222 abc 这种方法简单易懂 灵活运用了几何和代数方法的结合 2 5 2 梅文鼎证明 做四个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 斜边长ab 为 把它们拼成如图那样的一个多边形 使在一条直线上 过作cDEF C 的延长线交于点 ACDFP c c c c a a b a b a H C P D A B G E F b 因为在一条直线上 且 DEF Rt GEFRt EBD AA 所以 EGFBED 因为 90EGFGEF 90BEDGEF 所以 1809090BEG 又因为ABBEEGGAc 所以 是一个边长为 的正方形 ABEGc 故有90ABCCBE 因为Rt ABCRt EBD AA 所以ABCEBD 90EBDCBE 即90CBD 又因为90 90BDEBCP BCBDa 所以是一个边长为 a 的正方形 BDPC 同理 HPFG 是一个边长为 b 的正方形 设多边形的面积为 S 则GHCBE 22 1 ab2 2 sab 2 1 2 2 csab 所以 222 abc xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 9 2 5 3 利用相似三角形性质证明 a c b D A C B 如图 在直角中 设直角边的长度分别为 斜边的ABC ACBC a bAB 长为 过点作 垂足是 cCCDAB D ADCACB 在和中 因为 90ADCACB CADBAC 所以 ADCACB AD ACAC AB 即 2 ACADAB 同理可证 从而有CDBACB 2 BCBDAB 所以 即 222 ACBCADDBABAB 222 abc 大家都知道勾股定理的证明方法实在是太多了 据目前估测就已有 500 多 种 在这里本文就一些勾股定理的证明方法作一些浅谈 以显示勾股定理证明 的博大精深和丰富的内涵 为什么这么多人会对勾股定理的证明作如此深入的 探究 这个问题我希望能够引起大家对勾股定理的兴趣 为勾股定理的证明多 做一些思考和探究 同时引起大家对数学的兴趣和对数学的探究 为数学研究做 出自己的努力 3 勾股定理体现的数学思想 掌握基本数学思想和方法能使数学更容易理解和记忆 本文阐述了勾股定理 应用中所蕴含的四种数学思想 从而使复杂的问题简单化 在教学中 我们必须 充分重视数学思维的培养 并注意各种思维方式的应用 通过具体的 解决数 学问题的独立探索和专研 领会数学思维的规律和方法 提高数学思维的严密 性 灵活性等思维品质 达到举一反三 概括迁移 融会贯通的效果 勾股定理是数学中的一个重要定理 在利用勾股定理解题时 常常把有关 的已知量与未知量在图形中表示出来 这就是说 利用勾股定理解决问题时要 用到 数形结合思想 即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量 关系转化为图形的性质 或者把图形的性质转化为数量关系 从而使复杂问题 的简单化 抽象问题具体化勾股定理是数学中的一个重要定理 在利用勾股定 理解题时 常常涉及到一些常用的数学思想 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 10 3 1 数形结合的思想 数形结合思想即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转 化为图形的性质 或者把图形的性质转化为数量关系 从而使复杂问题的简单 化 抽象问题具体化 例 1 如图 1 把矩形纸条沿同时折叠 两点恰好落在ABCD EF GH B C 边的点处 若 则矩形的边长为 ADP6 8 90 PHPFFPHABCDBC 20A 22B 24C 30D 解 由题意知 PFBF GHHC 因为 90FPH 所以 2222 8610FHPFPH 所以8 10624BCBFFHHCPFFHPH 选 C 3 2 方程思想 方程思想是指对所求问题通过列方程 组 求解的一种思维方法 中考中 用方程思想求解的题目随处可见 图 1 D A B A C F P D H G E 图 2 E O CA B D 例 2 如图 2 中 为直角边上一点 以为圆心 为半径的ABCAR tOBCOOC 圆恰好与斜边相切于点 与交于另一点 ABDBCE 1 求证 AOCAOD 2 若 求的半径及图中阴影部分的面积 1BE 3BD OAS 解 第 1 问 与勾股定理无关 在这里不解答 在解答 2 时可以 直接利用 1 的有关结论 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 11 2 设半径为 在中 解得 由 1 有rRt ODB 222 3 1 rr 4r 所以ACAD 222 9 3 ACAC 解得12AC 所以 11 22 SACBC 22 11 12 94548 22 r 3 3 分类思想 数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复 无遗漏 地分别加以讨论 从而获得完整的问题的解答 数学里的许多问题 只有用分类 讨论的思想才能保证解答完整准确 做到 不漏不重 例 3 李老师在与同学进行 蚂蚁怎样爬最近 的课题研究时设计了以下 三个问题 请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的 长 1 如图 3 正方体的棱长为 5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点沿A 着正方体表面爬到点处 1 C 2 如图 4 正四棱柱的底面边长为 5cm 侧棱长为 6cm 一只蚂蚁从正 四棱柱底面上的点沿着棱柱表面爬到处 A 1 C 3 如图 5 圆锥的母线长为 4cm 圆锥的侧面展开图如图 6 所示 且 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点出发 沿圆锥侧面爬行一周 1 120AOA A 回到点 A B1 C1 D1 图 6 图 5 图 4 图 3 A C B A D C B A D D1C1 B1 A1 A1 B A1 OO A 解 1 555 55 22 1 2 1 CCACAC 2 22 1 6 55 AC136 1465 56 22 1 AC 因为 146136 所以最短路程为cm342 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 12 3 由已知得所求的最短的路程为 34 1 AA 3 4 转化的思想 原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答 解题意味着什么 时说 解题 就 是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题 可以说 任何一个数学问题 都是通过数或形的逐步转化 化归为一个比较熟悉 比较容易的问题 通过对 新问题的解决 达到解决原问题的目的 可见 转化是解数学问题的一种重要方 法 数学解题的过程实际就是转化的过程 换言之 解题就是把所要解决的问题 转化为已经熟悉的问题的过程 通过对条件的转化 结论的转化 使问题化难 为易 化生为熟 最终求得问题的解答 例 4 将一块弧长为 的半圆形铁皮围成一个圆锥 接头忽略不计 则围成的 圆锥的高为 3A 3 2 B 5C 5 2 D 解 解答本题的关键是要把空间图形的问题设法转化为平面图形的问题 圆 锥的母线长为弧长所在圆的半径 而弧长等于圆锥底面圆周长 在圆锥中构造 直角三角形 求得 22 13 1 22 h 所以 选 B 在数学教学中 如果我们加强了数学基本思想方法的教学 并注重思维训 练 可优化学生的思维 有助于学生能力的迁移 更能提高数学的教学质量 数学思想方法已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容 数学 思想方法是随着学生对数学知识的学习 运用逐渐形成的 数学思想方法是数学 的生命和灵魂 是数学知识的精髓 是把知识转化为能力的桥梁 教师在平时教 学中要让学生在学习中注意总结提炼 相互讨论 在解题的同时掌握有关的数 学思想方法 xx 师范学院 2012 届本科毕业设计 论文 13 总结 勾股定理是中学数学中解决问题的基本定理之一 作为学学习数学的基础 学习工具 本文共用三个章节来讨论勾股定理 第一章简单描述了勾股定理的历 史背景 这样可以让同学更进一步地了解勾股定理 另外 提出了有关勾股