高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数（2）课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 1函数的单调性与导数 2 4 对数函数的导数 5 指数函数的导数 3 三角函数 1 常函数 c 0 c为常数 2 幂函数 xn nxn 1 一 复习回顾 基本初等函数的导数公式 1 求可导函数f x 单调区间的步骤 1 求定义域 求f x 2 解不等式f x 0 或f x 0 3 确认并指出递增区间 或递减区间 2 证明可导函数f x 在 a b 内的单调性的方法 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 在区间 a b 内 若f x 0 则f x 在此区间上单调递增 反之也成立吗 提示 不一定成立 比如y x3在r上为增函数 但其在0处的导数等于零 也就是说 f x 0 是 y f x 在某个区间上递增 的充分不必要条件 课堂互动讲练 关于函数单调性的证明问题 1 首先考虑函数的定义域 所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行 2 f x 或 0 则f x 为单调递增 或递减 函数 但要特别注意 f x 为单调递增 或递减 函数 则f x 或 0 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 如图 函数在或内的图象 陡峭 在或内的图象平缓 练习 2 函数的图象如图所示 试画出导函数图象的大致形状 练习 3 讨论二次函数的单调区间 解 由 得 即函数的递增区间是 相应地 函数的递减区间是 由 得 即函数的递增区间是 相应地 函数的递减区间是 a 一 求参数的取值范围 注 已知函数单调性求参数范围 由函数的单调性求参数的取值范围 这类问题一般已知f x 在区间i上单调递增 递减 等价于不等式f x 0 f x 0 在区间i上恒成立 然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围 解 由已知得 因为函数在 0 1 上单调递增 在某个区间上 f x 在这个区间上单调递增 递减 但由f x 在这个区间上单调递增 递减 而仅仅得到是不够的 还有可能导数等于0也能使f x 在这个区间上单调 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 本题用到一个重要的转化 思路点拨 先求出导函数 再令f x 0在 2 上恒成立 利用分离参数法求得a的范围 注意验证a取等号结论是否仍成立 变式训练2已知函数f x x3 ax 1 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 解 存在 f x 3x2 a 又f x 在 1 1 上单调递减 f x 0在 1 1 上恒成立 即3x2 a 0在 1 1 上恒成立 a 3x2在 1 1 上恒成立 又0 3x2 3 a 3 经验证当a 3时 f x 在 1 1 上单调递减 故存在实数a 3满足条件 方法技巧 1 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是单调递增的 但由函数f x 在区间 a b 内递增又可得出f x 0 因此在 a b 内f x 0并不是函数f x 在 a b 内递增的充要条件 2 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是单调递减的 同理在 a b 内f x 0是f x 在 a b 内递减的充分不必要条件 3 如果函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 如f x 2 则f x 0 作业 已知函数f x a