连续型随机变量的概率密度函数.ppt

1 2 说明 知识回顾 1 定义 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况 2 即任一分布函数处处右连续 3 性质 3 离散型随机变量的分布函数 4 重要公式 4 思路 首先利用分布函数的性质求出常数a b 再用已确定的分布函数来求分布律 解 练习 5 6 从而X的分布律为 7 2 3连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量的概念与性质 一些常用的连续型随机变量 8 一 连续型随机变量的概念与性质 定义如果对于随机变量X的分布函数F x 存在非负函数f x 使得对于任意实数x 有 则称X为连续型随机变量 其中函数f x 称为X的概率密度函数 简称概率密度 记为 X f x 其图象称为密度曲线 说明 连续型随机变量的分布函数为连续函数 9 概率密度f x 具有以下性质 前两个条件是概率密度的充分必要条件 X落在 x1 x2 上概率是概率密度在 x1 x2 上的定积分值 10 事实上 既有 5 设X是连续型随机变量 则对任意的实数a 有 注意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似 但是密度函数不是概率 11 说明 由上述性质可知 对于连续型随机变量 我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 此公式非常重要 若已知连续型随机变量X的密度函数为f x 则X在任意区间G G可以是开区间 也可以是闭区间 可以是有限区间 也可以是无穷区间 上取值的概率为 12 例1设X是连续型随机变量 其密度函数为 解 由密度函数的性质 有 13 例2某电子元件的寿命X 小时 是以 为密度函数的连续型随机变量 求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率 解设A 某元件在使用的前150小时内需要更换 设Y表示5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数 则 故所求概率为 检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重Bernoulli试验 14 例3设随机变量X的密度函数为 15 例3 续 16 例4设有随机变量X的概率密度函数为 求1 A值 解 2 X的分布函数 3 P 1 5 X 2 5 1 由密度函数的性质 有 2 X的分布函数 或 3 17 二 一些常用的连续型随机变量 1 均匀分布 定义若随机变量X的密度函数为 记作X U a b X的分布函数为 则称随机变量X服从区间 a b 上的均匀分布 18 显然 19 均匀分布的概率背景 如果随机变量X服从区间 a b 上的均匀分布 则随机变量X在区间 a b 上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长度成正比 与该区间的位置无关 此时可认为随机变量X在区间 a b 上取值是等可能的 20 例5设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车 如果某乘客到达此站的时间是7 00到7 30之间的均匀随机变量 试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率 解 令 B 候车时间不超过5分钟 则 乘客到达此站的时间是7 00到7 30之间的均匀随机变量 设该乘客于7时X分到达此站 X服从区间 0 30 上的均匀分布 21 例6 解随机变量Y的密度函数为 22 2 指数分布 定义若随机变量X的密度函数为 记为 其分布函数为 说明指数分布常用于近似表示 寿命 分布 如 服务时间 某消耗品的寿命 放射性元素的衰变期等 指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用 23 例7 令 B 等待时间为10 20分钟 则 设打一次电话所用的时间X 分钟 是服从参数为 1 10的指数分布 如果某人刚好在你前面走进公用电话间 求你需要等待10 20分钟的概率 X的密度函数为 X 分钟 是服从参数为 1 10的指数分布 24 3 正态分布 1 概率密度函数 如果连续型随机变量X的概率密度函数为 其中 0 则称随机变量X服从参数为 2的正态分布 由称高斯分布 记为 X N 2 25 特别是 当 0 2 1时称正态分布为标准正态分 0 x f x 其图形如右 布 记为 N 0 1 标准正态分布的概率密度函数为 26 密度函数的验证 只验证 见高等数学 下 二重积分 27 由正态分布密度函数的图形知 x f x 0 1 曲线关于直线x 对称 这表明 对任意的h 0 有 2 当x 时 f x 取到最大值 28 3 曲线y f x 在x x 时处有拐点 曲线以x轴为渐近线 4 若 固定 改变 的值 则y f x 的图形沿x轴平行移动 但图形的形状不改变 5 若 固定 改变 的值 当 越小 则y f x 的图形越陡 即X落在 值附近的概率越大 反之 当 越大 则y f x 的图形越平缓 表明X取值越分散 x f x 0 29 2 分布函数 且有 30 证明 由公式有 作变换t dt d 得 31 说明 2 对于任何实数x 有 当0 x 4时 从附表直接只查 x 当x 4时 x 1 当 4 x时 x 0 当 4 x 0时 x 1 x 32 3 标准正态分布与正态分布的关系 33 该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法 34 该公式给出了一般正态分布概率函数值的求法 35 例8设随机变量X N 0 1 试求 1 P 1 X 2 36 例9设随机变量X N 2 9 试求 1 P 1 X 5 37 X N 2 9 38 39 规则 3标准差规则 40 4 分布 41 函数 42 说明 我们称此分布为排队论中的n阶Erlang 爱尔朗 分布 43 我们称此分布为自由度为n的 分布 它为数理统计中常见的统计量之一 44 4正态分布的密度函数及几何性质 5