Maple系统在数学建模中的应用.pdf

第 1 3卷第 2期 山东轻工业学院学报 v0 1 1 3 No 2 1 9 9 9年 6月 J O URN ALOFS H AN DON G I N S TI T UTEOFLI G I I TI NDUS TRY J u n 1 9 9 9 Ma p l e系统在数学建模中的应用 王涛 杨洪 一 山东省 经济计划学校济南 2 5 0 1 0 0 山东 大学济南 2 5 0 1 0 0 刘贵杰 山东轻工业学 院机 电工程 系济南2 5 0 1 0 0 C 王 摘 要奉文探讨了 数学模型的种类及数学建模存在的问厨 进而探讨了Ma p k系统的功能与特点 厦 它在敷学 建模 中的应 用 计算机代数系统 Ma p l e 系统 在对 自然科学与社会科学许多课题的研究 中 科 学工作者 常将事物 的变化规 律用特定 的 数学表达式的形式加以描述 将这种确定事物变化规律 的过程称 为 数学建模 在数学模型 的格式确定之后 往往 还需 要根 据不 同的限制 条件 去确定 数学表达式 的有关参数 以便精确地 描述该事物的变化规律 其次 研究者时常更 多地 关注事物变化规律 的极端情况 例如 对多 变量参数数学模型求极值点 或者将 函数 的变化 规律 由隐函数形式转换 为显 函数 的形式 或者 将复杂 的函数表达式化简 或者从众 多因素 中确定 少数 主要 因素 或者将含 有微分或积分 因子 的数学模 型求 出分析解 数学模型 的建立 整理 化简 优 选参数 求精确 解等 都是 数 学建模 研究工 作 中的关键 部分 是许 多科研 工作 的主要课 题 本文探讨 了数学模 型的种类及数学建模存 在的问题 进而 探讨 了 Ma p l e系统 的功能与特点 以及它在数学建模 中的应用 l 几种常用 的数学模型 生产 实践 中 常用的数学模型有以下几种 1 在工农业生产计划优化决策 中常用 的线性规划模 型 2 机械化养鸡最佳生产周期研究 中用 到的罗杰斯 蒂函数模 型 3 天气预报研究 中使用 的多元线性 回归模 型 4 农作物最佳投入产出规律研究 中用 的道格 拉斯 回归模 型 5 电波传播研究 中遇到 的复 系数多项式 方程模 型的求 根问题 6 投资决策 中用到 的层次分析模 型的解 法 7 生物学科在正交试验设计 中对 多元二次函数模型的求极值点的研究 收 稿 日期 1 9 9 9 0 l 一2 9 维普资讯 山东轻工业学院学报 第 1 3卷 8 化 工产 品的生产 过程 中遇到的热传 导常微分方程模型求解方法 2 数学模 型研究中现存 的问题 在许多情况下 数学模型 的研 究常常会遇到种种难 以解决 的问题 主要 存在 以下几方面 1 对于结构复杂的模型 求 出该模型解 的分析表达式 2 检验所建数学模型 的正确性 3 绘制几何 图形显示该模 型的特性 4 模型 内参数的变化对模型 的影 响 5 将复 杂模型简化 的可 能性 6 由于数据 的变化 幅度 过大 造成对模 型处 理的过程 中计算误差的大量积 累 7 用 于 由符 号表达 式到符号 表达式 的变换方法 8 测试数学模型各种特 性指 标的简易方法 3 Ma p l e系统用 于 数学 建 模 3 1 Ma p l e系统简介 Ma p l e系统是一种计算机代数系统 它是 由加拿大 Wa t e r l o o大学科 研人员研 制成功 的 是 目前 流行最 广的计算 机代数 系统之 一 我们将 MA P L E系统用 于数学建 模 是 由于它具有 如 下特点 1 功能 齐全 它 由 2 0 0 0余个 子程序组 成 其功 能覆盖 了代数 几何 微积分 矩阵 数论 组 合数学 统计 运筹 集合论 图形等功能 2 操作方便 安装在 Wi n dows 9 5系统下运行 窗 口命令 的格式 符合 Wi n d o ws的统一风 格 3 程序设计命令规范 其基本语句 和子程序命名符都基本符合 专业 的习惯 容易被使用 者接收 4 输出结 果内容丰富 格式多样 它可 以输 出线性 格式的结果 与符合 数学 习惯 的结 果 便 于分析和保存 3 2 Ma p l e系统用于数学建模 的步骤 通过 大量 的研究 分析 我们 总结 出 Ma p l e系统用 于数学建模 的几个步骤如下 1 数学建模的准备工作 分析研究对象 的变化规律 提取研究对象及变化 规律 的主要特 征 作为数 学建模 的依据 为了建模 工作 的方便 对研究对象变化规律在保持其特性 的条件下进行适 当的化简 并为验证 模 型准备 一批 数据 2 确定数学模型的类型 根据研究对象 变化规律 选用相符 的模型类 型 例如 测 量数据选 用拟 合模型 动 态运动 规 律选用 微分方程 模型 投入产 出规律选用数学规划模型 生产计划布局选用 网络模型等 3 对数学模 型最佳分析表达式 的设计 在同一数学模 型的类型 中 进 一 步针 对 不 同数 据变 化特 征 选 定该模 型的最佳 分析 表达 维普资讯 第 2期 王涛等 Ma p l e系统在数学建模 中的应用 式 这是数学建模过程 中的另一关键步骤 例如 在众多 回归模 型中进 一步选型 确定采用 多 项式逼近 或 周期 函数 逼近 还是一般超 越函数模型逼近 4 数学模型的求解及确定主要参数 计算机代数系统的 出现为我们进行数学模 型的求解 提 供 了得 力的工具 5 数学模 型的验证 与计算结果分析 评价模型的可信度 审定模 型的合理性 并 用事先准备 的数据 对模 型进行 统计 检验 必要 时 调整原模型的参数与条件 返回第 4 步 甚于改变模型的类型 返回到第 3 步 从新进行 模型设计 3 3 实倒分析 实例分析 1 某公 司生产 X1 X 2 X3三种机 件产品 在 下表 中给 出了生产每种 机 件产 品 所消耗的贵金属材料 电力 工时量 以及每件产 品的利 润 并 给 出了贵金属 材料 电力 工 时量 的月供应量 若三种产品的月需求量不超过 1 6 0 0件 如何修必数学模型 求最优生产方案 若三种产品的月需求量不少于 l 0 0件 又怎样修改数学模型 求最优生产方案解 1 数学建模 的准备 分析上 述研究对 象的变化 规律 根据 已知条 件 该 问题符 合线 性规 划模型的规律 其模型的 目标函数与约束条件数据完备 2 用 Ma p l e V设 计数学模型分析表达式 定义 目标 函数与约束条件集合 f 8 0 0 x 1 5 0 O x 2 6 2 0 x 3 C o nl 1 5 x l 1 1 x 2 1 0 x 3 8 9 6 0 C o n 2 1 3 x 1 1 0 x 2 1 2 x 3 1 0 5 1 3 0 Co n 3 1 2 x 1 l 0 x 2 9 x 3 8 5 1 3 0 S e t l o o n l c o n 2 o o n 3l Wi t h s i mp l e z 测定约束条件的可解性 F e a s i b l e s e d Tu r e 3 求线性规划 的最优解 Ma x i mz e f s e t l N0NNE GA Tl x 2 0 x 3 4 1 0 2 5 x l 2 5 2 5l 4 修改数学模型 增加约束条件并求线性规划的最忧解 o o n 4 x l x 2 x 3 l C 0 维普资讯 4 8 山东轻工业学院学报 第 1 3卷 s e t 2 i ran 1 mn 2 o o n 3 c o n 4 ran 5 F e a s i b l e s e t 2 Tu r e Ma x i mi z e f s e t 2 NON NE GATI vE x l 1 0 0 x 2 0 x 3 7 4 6 j 5 再次增加约束条件并求线性规划 的最优 解 c o n 6 x 2 1 0 0 s e t O ran 1 mn 2 c o n 3 ran 4 mn 5 c o n 6 F e a s i b l e s e to Tr ue Ma x i mi z e f s e t O NONNEG ATI VE x 3 6 3 6 x l 1 0 0 x 2 1 0 0 最优解 f 5 2 9 3 2 0 目标函数值 实例 分析 2 研究 函数 Y E 卜 s i n x 的变化 规律 求 它 的 一 阶导 数 y 1和 二 阶导数 y 2 画 y y l y 2三条 曲线 求 y 1与 y 2的零 点 t l 与 t 2 问题 解答 见附图 4 结束语 附 图数 学模 型关 系 曲线 通过理论探讨 和实例分析 我们得 出如下结论 4 1 Ma p l e系统是一个功 能齐 全的计算 机代数系统 把它用于数学建模是非常方便 的 4 2 Ma p l e系统 的程序设计简单 易懂 对计 算机 硬件条 件要求不 高 是 一个适 用 于数学建 模 的工具软件 参考文献 1 李刚 橱 社 等 现代 应用软 件 末营 石油 太学出 版社 1 9 9 8 2 姜 启蔼 教学 模型 北京 高等 教育 出版社 1 9 8 7 下转第 5 3页 下 维普资讯 第 2期 盂华等 模式识别技术在 结晶质玻璃材料制备 中的应用 5 3 膊 立东 晶花玻 璃 高级 建筑 饰 面材料 的研制 中国建材 1 9 9 5 1 4 7 3 2 3 2 4 朦 立东 来 启 辉 张晓凯古铬 C a O A I 2 Oj s i 系统 结 晶质玻璃 球状 析晶 机理 的研究玻璃 1 9 9 6 2 3 1 1 5 边 肇祺等 模式 识别 北京 清华 大学 出版社 1 9 8 8 王 碧泉 胨祖 荫模 式识 别理 论 方 法 和应用北京 地 震 出版 社 1 9 8 9 蔡元 龙模 式识 别西 安 西 安电 子科技 大学 出版杜 1 9 8 6 Ap p l i c a t i o n s o f Co mp u t e r Pa t t e r n Re c o g n i t i o n i n t h e S t u d y o f Cr y s t a l l i z e d Gl a s s e s M e n g H u a S h a n d o n g Mcoh o l F a c t o ry J i n a n 2 5 0 1 0 0 Te ng Li d on g S h a n d o n g I n s t i t u t e o f L i g h t I n d u s t r y J i n a n 2 5 0 1 0 0 Ab s t r a c t Th e p r e p a r a t i o n f a c t o r s o f c r y s t a l l i z e d a s s e s h a v e b e e n a n aly z e d b y me a n s o f s t a t i s t i cal p a t t e r n r e c o g n i t i o n Th e o p t i mu m r e gio n o f t a r g e t p a r a me t e r s wi t h e x p e c t e d me c h a n i c a l p r o p e r t i e s wa s d e t e r mi n d b y c o mp u t e r p r o g r a m o f p r i n c i p a l c o mp o n e n t a l i a l y s i s P C A Th e e x p e r i me n t al res u l t s s h o w t h a t t h i s PCA p r o g r a m i s r e l i a b l e i n o p t i mi z i n g h e a t t r e a t me n t s c h e d u l es a n d comp o s i t i o n o f c r y s t a l l i z e d g l a s s e s Ke y wo r d s co mp u t e r a p p l i c a t i o n p a t t e rn r e c o g n i t i o n c r y s tal l i zed a s s ma t e r i a l d e s i g n 上接第 4 8页 Ap p l i c a t i o n s o f M a p l e S y s t e m i n M a t h e ma t i c a l M o d e l i n g W an g Ta o S h and o n g S c h o o l of E con o my P la n J i n a n 2 5 0 1 0 0 Yan g I t o ng S h a n d o n g Un i v e r s i t y J i n a n 2 5 0 1 0 0 L i