第三章导学案(完成).doc

安图一中高二数学选修1-1导学案 2012年 月 日3.1.1变化率问题学习目标 理解函数的增量、自变量的增量、函数在某区间上的平均变化率的含义。学习过程 一、课前准备复习与思考：1、设P1、P2是曲线上两点，它们的横坐标分别是、 ，那么P1、P2两点连线的斜率可以怎么表示？2、作变速运动的物体，其位移s和时间t满足函数关系 ，则物体在时间段 上的平均速度如何计算？预习准备：阅读教科书7273页，回答下列问题：（只写出表达式即可）1、 气球膨胀问题：气球体积V与半径r之间的函数关系：V(r)= ，从而推出r(V)= 思考：当自变量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率为 2、 高台跳水问题 ：(1)、运动员在时间段内，平均速度= (2)、运动员在 时间段内，平均速度 = 二、新课导学抽象概念-平均变化率：如果在以上问题中，函数关系用y=f(x) 表示，则问题中的变化率可以用 表示，我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。习惯上，令 =x2-x1,可把看作相对于 的一个“ ”则x2= 类似的，令 =f(x2)-f(x1),则，平均变化率可以表示为 总结：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题例：求 在 到 之间的平均变化率。总结求函数平均变化率的步骤： 1、2、3、 动手试试：求函数f(x)=x2-1在1，2上的平均变化率。探求新知-平均变化率的几何意义：思考：三、总结提升 学习小结：函数平均变化率及几何意义。 知识拓展：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”4、 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1自变量由变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）A 在区间 上的平均变化率 B 在 处的变化率C 在 处的变化率D 在区间 上的导数2一物体的运动方程是 ，则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为（ ）A、 0.41 B、 3 C、 4 D、 4.13、设函数 ，当自变量由改变到 时，函数的改变量为 4下列各式中可以表示平均变化率的是（ ）A、 B、 C、 D、 课后作业 ：1、教科书第79页习题3.1 A组1题,课后思考：高台跳水问题中，求运动员在时间段上的平均速度= ，并思考：（1）、运动员在这段时间里是静止的吗？（2）、用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ 3.1.2导数的概念学习目标 1理解瞬时速度，瞬时变化率。2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数。一、课前准备 复习准备1、在函数y=f(x)中，f(x)从x1到 x2的平均变化率为 = ，其中 是自变量x的“增量”，范围是 2、平均变化率的几何意义是： ，物理意义 预习准备（阅读教科书74-75页，）探究：1、 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？ 2、 函数f(x)在 x=x0处的瞬时变化率怎样表示？二、新课导学形成概念-导数： 一般地，函数y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是 我们称它为函数y=f(x)在 x=x0处的 ，记作： 或 即 =实际意义举例：1、高度h关于时间t的导数就是运动员的 2、气球半径r关于体积V的导数就是气球的 总结：导数即为函数y=f(x)在x=x0处的 典型例题例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热。如果在第 h时原油的温度 为 .计算第2 h和第6 h时，原油的瞬时变化率，并说明意义。 总结-求导数的步骤： 函数的增量： 求平均变化率： 取极限，得导数： 上述求导方法可简记为：一作差，二求商，三取极限. 动手试试：设 +1，求 ， ， 典型例题（导数定义及变形）若，求（1） （2）三、总结提升 学习小结：导数是由平均变化率的极限定义的。 知识拓展： (1)函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中， 趋近于0可正、可负、但不为0，而 可以为0(3) 导数定义中， ，当 时， ，所以四、学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在 x =1处的导数为（ ）A2x B2 C D12、设函数可导，则 等于（ ）A、 B、 不存在 C、 D、 以上都不对3、设 ，若 ，则 的值 4、高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是 (单位: m),求运动员在 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况5、高度关于时间的导数是速度，速度关于时间的导数是 .课后作业： 教科书第80页习题3、1 A组3、4题课后思考：导数 是函数 在点 的处瞬时变化率，它反映的函数 在点 处变化的 3.1.3导数的几何意义导学案学习目标 1通过作函数 图像上过点 的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程。2掌握函数在某一处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义。3会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程。一、课前准备 复习准备1、函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别与联系？2、函数在点 处的导数是什么？如何表示？二、新课导学 自学引导（阅读教科书76-77页，并思考：） 对于函数的曲线上的定点和动点，直线 称为这条函数曲线上过点的一条_；其斜率_；当时，直线就无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过P点的_；其斜率_ = 导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 处切线的 ，即 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象.根据图象,请描述、比较曲线 在 附近的变化情况. 变式：尝试描述函数在t3、t4 附近的增减快慢情况.。总结新知：当函数在处的导数时，函数在附近的图像自左而右是 的，并且的值越大，图像上升的就越_；当函数在处的导数时 ，函数在附近的图像自左而右是_的，并且的值越小，图像下降的就越_；当时，函数在附近几乎 导函数（简称导数）的概念：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：: 或 ，即: 动手试试根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶； 典型例题：求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.三、总结提升 学习小结：函数在处导数的几何意义是曲线在 处切线的斜率. 切线方程为 知识拓展：曲线在某点处的切线:与该点的位置有关;要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.四、学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知曲线上一点,则点处的切线斜率为 2、曲线 在处的（ ）A、 切线斜率为1 B、 切线方程为 C、没有切线 D、切线方程为 3、如果函数在处的切线的倾斜角是钝角，那么函数在 附近的变化情况是_4、已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为（ ）A .1 B. 1 C.2 D .2课后作业： 教科书第80页习题A组5、6题。课后思考：曲线 在P点处的切线平行于直线 ，则此切线方程为 3.2.1几个常用函数的导数学习目标 1由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数的导数公式。2掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数一、课前准备 复习准备1、导数的几何意义是：曲线在点（）处的切线的斜率.因此，若在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 2、求函数 的导数的一般方法：（1）求函数的改变量 （2）求平均变化率 （3）取极限，得导数 = 二、新课导学 自学引导 问题1：、 是我们学习过的几个常见函数，根据导数的定义，你能够求出它们的导数吗？探究过程：1、 的导数： 小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限. 动手试试：求其他四个函数的导数思考：根据上述几个导数公式，函数的导数是什么？总结新知： 典型例题例1：在同一坐标系中，画出函数的图象，根据导数的定义求它们的导数，并思考：从图象上看，它们的导数分别表示什么？在这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？函数增（减）的快慢与什么有关？ 总结新知：例2：画出函数 的图象，求出曲线在点（1，1）处的切线方程；求曲线过点(2,3)的切线方程.三、总结提升 学习小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，即已知点是否在曲线上，若是，先求斜率代入直线点斜式方程；若否，先设切点，表示切线方程再代入已知点求出切点，从而求出切线方程。 知识拓展四、学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、函数 的导数是_2、已知 ,则（ ）A0 B2 C6 D93、. 在曲线上的切线的倾斜角为450 的点为（ ）A B C D4、设曲线在点处的切线与直线平行，则 5.物体的运动方程为 ,则物体在时的瞬时速度为_. 6、在下列四个命题中，真命题的个数为（ ）曲线在原点处没有切线；若函数，则 ；加速度是动点位移函数对时间的导数；函数的导函数的值恒为非负。A. 1 B.2 C.3 D.4课后作业： 已知三次曲线y=x3（1）求曲线在点（2，8）处的切线方程。（2）求曲线过点（1，0）的切线方程.课后思考：求曲线与在它们的交点处的两条切线与轴围成三角形的面积。3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标1熟练掌握基本初等函数的导数公式； 掌握导数的四则运算法则；2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数学习过程 一、课前准备复习1：常见函数的导数公式： ； 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1） （2） （3） （4）二、新课导学自学引导（一）基本初等函数的导数公式：（请根据课本填写并记忆）1、若，则= ；2、若，则= ；3、若，则 = ；4、若 ，则 = ；5、若 ，则 = ；6、若， 则= 。（二）两个函数的和(或差)积商的导数1、 = ；2、 = ；3、 （ ）。4、若为常数，则 = 。尝试应用求函数的导数. 典型例题例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价(单位：元)与时间(单位：年)有如下函数关系，其中为时的物价.假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?（？）例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%； （2）98%. 动手试试练1. 求下列函数的导数：（1） ； （2） ； （3） ； （4）三、总结提升 学习小结我们学习的简单函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 知识拓展1复合函数的导数：设函数在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数 ，则复合函数在点x处也有导数，且 2复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 曲线在处的切线的斜率为 2. 函数 的导数是 3. 曲线与在处的切线互相垂直，则等于 4. 已知函数,且,则 5已知曲线C：y 3 x 42 x39 x24，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程。 课后作业 ：教科书85页习题3.2 A组 4、6、7题课后思考：求函数 的导数。 3.3.1函数的单调性与导数学习目标1了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。一、课前准备19复习1：对于任意的两个数x1，x2I，且当x1x2时，都有 ，那么函数f(x)就是区间I上的 函数. 复习2： ； ； ； ； ； ； ； ；二、新课导学 学习探究：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线的切线的斜率就是函数的导数.从函数的图像来观察其关系：y=f(x)=x24x+3切线的斜率f(x)(2，+)(，2)在区间（2，）内，切线的斜率为 ，函数的值随x的增大而 ，即时，函数在区间（2，）内为 函数；在区间（，2）内，切线的斜率为 ，函数的值随着x的增大而 ，即 0时，函数在区间（，2）内为 函数.新知1：函数的单调性与导数的关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数 典型例题：例1、判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）； （2）；（3）； （4）.反思：利用导数求函数的单调区间的方法步骤： 确定函数的 ；求导数；解不等式，解集在定义域内的部分为 ；解不等式，解集在定义域内的部分为 典型例题例2、 已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，.试画出图象的大致形状.变式：函数的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.例3 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容 器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象.三、总结提升 学习小结用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的定义域；求函数f(x)的导数.令，求出全部驻点；驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内的符号，由此确定的单调区间注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑. 知识拓展一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数在或内的图象“陡峭”，在或内的图象“平缓”.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若为增函数，则一定有（ ）A BC D2. 若在区间内有，且，则在内有（ ）A BC D不能确定3.函数的增区间是 ，减区间是 4.已知，则等于 5.求证：函数在内是减函数课后作业：教科书93页练习1、3题；98页3题课后思考：求证：函数在区间上是单调递增函数3.3.2函数的极值与导数学习目标 1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤. 学习过程 一、课前准备复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：求函数f(x)的导数. 令 解不等式，得x的范围就是递增区间.令 解不等式，得x的范围，就是递减区间 .二、新课导学 学习探究问题1：如下图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？ 由图可以看出，函数在点的函数值f(d)比它在点附近其它点的函数值都 ，= ；且在点附近的左侧 0，右侧 0. 类似地，函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都 ，= ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0. 总结新知：函数极值：我们把点d叫做函数的 ，f(d)叫做函数的 ；点叫做函数的 ，叫做函数的 .极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .动手试试： （1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.思考：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件 典型例题例1 求函数的极值.尝试小结：求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的 ；(2)求导数；(3)求方程 的根（4） 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得 ；如果左负右正，那么在这个根处取得 ；如果左右不改变符号，那么在这个根处 .变式：已知函数.（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象. 动手试试下图是导函数的图象，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升 学习小结1. 求可导函数f(x)的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、 函数有极 值点 ，极 值是 2、 函数在处有极值，则的值分别为（） ABCD3、函数有极大值和极小值，则的取值范是。4、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个B2个C3个D 4个5、函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围为 课后作业 ：教科书96页练习1题（2）、（3） 教科书98页习题3.3.A组 4题课后思考：三次函数当时，有极大值4；当时，有极小值0，且函数过原点，则此函数（ ） A B C D3.3.3函数的最大（小）值与导数学习目标 理解函数的最大值和最小值的概念； 掌握用导数求函数最值的方法和步骤.学习过程 一、课前准备复习1：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 点，是极 值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的 点，是极 值复习2：已知函数在时取得极值，且，（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断时函数有极大值还是极小值，并说明理由.二、新课导学 学习探究探究任务一：函数的最大（小）值 问题：观察在闭区间上的函数的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？ 在图1中，在闭区间上的最大值是 ，最小值是 ；图2图1在图2中，在闭区间上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .总结新知：一般地，在闭区间上 的函数在上必有最大值与最小值. 动手试试： 右图的极大值点 ，极小值点为 ；最大值为 ，最小值为 .尝试总结：1.函数的最值是比较整个 内的函数值得出的，是整体概念；函数的极值是比较极值点 函数值得出的，是局部概念2.极值只能在定义域 取得，而最值可以在区间的 处取得。3.函数在其定义区间上的最大值、最小值 ，而函数的极值 （唯一或不唯一） 典型例题例1 求函数在0,3上的最大值与最小值.尝试总结-求最值的步骤：（1）求的极值；（2）比较极值与 ，其中最大的为最大值，最小的为最小值. 动手试试练1. 求函数的最值三、总结提升 学习小结设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值. 知识拓展利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令得到方程的根，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2. 函数 （ ） A有最大值但无最小值 B有最大值也有最小值 C无最大值也无最小值 D无最大值但有最小值3.若函数 在区间上的最小值为-6，则等于（） A-1B3C-2D-34.函数在上取最大值时，的值是（） A B C D5. 若函数在区间上的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A2 B4 C18 D20课后作业 ：教科书98页练习题（2）、（3）课后思考：已知函数，（1）求的单调区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.3.4生活中的优化问题举例学习目标 1进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.学习过程 一、课前准备复习1：函数y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是_ 复习2：函数在上的最大值为_；最小值为_.复习3：已知物体的运动方程是（的单位：，的