利用数轴探讨一类最小值的求法.doc

利用数轴探讨一类最小值的求法我们知道，在数轴上若两定点A、B分别表示数a、b，则A、B之间存在点P（设它表示的数为x ，bxa ），使得它到两个定点A、B的距离之和最小，这个最小值为AB|xa|+|xb|ab| (bxa)（如图1所示）那么，在数轴上到三个定点A、B、C的距离之和最小的点是否存在呢？若存在，这点又在何处？如图2所示，假设这点（P）就在B处（即|PB|0），则有PA+PB+PCPA+0+PCAC，而当P点不在点B处时，显然都有PA+PB+PCAC，假设是成立的所以在数轴上到三个定点A、B、C的距离之和最小的点就在中间那个点(B点)处，且最小值为AC的长现在我们继续探讨：数轴上四个定点A、B、C、D的情形，如图3所示，当P在BC之间（含点B、C）时，PA+PB+PC+PDBC+AD；当P在AB之间（不含点B）或在CD之间（不含点C）时，如图4所示，PA+PB+PC+PD2PB+BC+ADBC+AD或PA+PB+PC+PD2PC+BC+ADBC+AD；当P点在点A左边或点D右边时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的值将会更大于是，我们可以肯定的说，数轴上到四个定点的距离之和最小的点一定在中间那两个点之间（含两个端点），且最小值为|BC|+|AD|我们还类似的可以得出：数轴上到五个定点A、E、B、C、D的距离之和最小的点P，就在它们当中中间的一个点B处(如图5所示) 依此类推于是，我们得如下结论：设数轴上有n个定点，当n为偶数时，到这n个定点的距离之和最小的点在第+1个点之间（含两个端点）；当n为奇数时，到这n个定点的距离之和最小的点在第个点处这个结论的应用很广，现举两例：例1 求|x1|+|x2|+|x3|+|x2008|的最小值析解：设数轴上有2008个点分别表示连续整数1、2、3、2008，点P表示数x，则本题就是在数轴上求点P到这2008个整点的距离之和的最小值因此，必须求出P点表示的数是多少？即点P的位置因为2008是偶数，由上面结论知，点P所表示的数x应是中间两个点之间的任何一点表示的数，我们不妨取右端点的数x1005，得原式的最小值为：|10051|+|10052|+|10053|+|10052009|1004|+|1003|+|1002|+|2|+|1|+|0|+|1|+|2|+|3|+|1004|2（1+2+3+1004）（1+1004）10041009020例2 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，若甲小给乙小3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应作怎样安排？析解：如图，用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B调台电脑，B向C调台电脑，E向A调台电脑，依题意有：7+11+3+14+15+50510，所以，3，2，9，5，设调动的电脑的总台数为y,则y|+|3|+|2|+|9|+|5|，这样，这个实际问题就转化为求y的最小值问题，仿例1的分析，并由上面所得结论知：当3时，y的最小值为|3|+|33|+|32|+|39|+|35|12，即调动