第五章向量代数与空间解析几何.doc

第五章 向量代数与空间解析几何1向量及其线性运算一、向量既有大小又有方向的量.几何上，用一条有向的线段来表示向量，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。以为起点、为终点的有向线段所表示的向量记为或记为向量的大小称为向量的模，向量或的模记为或.模为1的向量称为单位向量，模为0的向量称为零向量，记为，零向量的方向为任意.在直角坐标系中，以原点O为起点，M为终点的向量称为M的向径，记为向量相等：与的模相等且方向相同,则与相等，记为=.二、向量加法设，以、为边作平行四边形OABC,则对角线OC所表示的向量称为与的和向量，记为向量加法也可由三角法则来定义. 三、向量与数相乘设数，向量与数相乘为一向量，其大小为，方向为：当时, 与同向，当时, 与反向，当时, =，特别是当时, =.由数乘定义：若，则有，反之且,则有。这是两向量平行的判别法。由单位向量的定义，若,则为与同向的单位向量,记为,即.向量的加法及向量与数相乘满足：，向量的加法与数乘运算合称为向量的线性运算.例1、设平面上的一个四边形的对角线互相平分,证明它是平行四边形.证明：，与平行且长度相等。故：四边形ABCD是平行四边形。例2、是轴上坐标分别为、,又是轴上的单位向量,则 解：，同理：，。2空间直角坐标系一、空间直角坐标系坐标轴、原点、坐标面、卦限二、空间点坐标M 与有序数组一一对应, 空间特殊点的坐标的特点:第1卦限上点坐标 第2卦限上点坐标 第3卦限上点坐标 第4卦限上点坐标 第5、6、7、8卦限上点坐标的特点依次把第1、2、3、4 中改为位于坐标轴上点的坐标的特点:若为轴上的点，则若为轴上的点，则若为轴上的点，则位于坐标平面上点的坐标的特点:若位于面上，则若位于面上，则若位于面上，则三、空间两点间的距离设，为空间上的两点,则例1、求点到坐标轴的距离。解：例2、在轴上求与点和等距离的点坐标。解：设点为，则有，即 ，点为。例3、求证以、三点为顶点的三角形是一个等腰直角三角形。解： 是一个等腰直角三角形。四、向量在轴上的投影1、向量与向量的夹角：向量，则有向线段与夹角称为与的夹角,记为1、 点及向量在轴上的投影设空间上点及轴，则过点垂直于轴的平面与的交点称为点在轴上的投影.已知是以为起点、为终点的向量，、在上的投影为、，则轴上的有向线段的值叫做在轴上的投影，记为轴上的有向线段的值为，正负号由与的正向是否一致而定.定理1 ，为与的夹角.定理2 五、向量的坐标设是以为起点、为终点的向量，的坐标为设是以为起点、为终点的向量叫做的分解式，为在轴的分量，为在轴的投影，为的坐标,记为，向量的这种表示法称为的坐标表示法。六、向量线性运算的坐标表示法设向量，则，例1、 设，求，。解：；。例2、设、，在线段上找一点，分线段为、，使它们的值的比为数，即，求点的坐标。设，则，七、向量的模与方向余弦的坐标表示式非零向量的方向可用与三坐标轴的夹角来表示,称为的方向角,称为的方向余弦。设，则又则，例：设向量,与轴的夹角分别为,求的坐标表示式解：，故，即，3向量的数量积、向量积一、两向量的数量积设一物体在常力的作用下沿直线从移动到，位移向量，则力所做的功。定义：设、为向量，则称数量为向量与的数量积，记为，即注意：两向量的数量积的结果是以数量，有时也叫做点乘或内积。利用这个公式可求得向量的投影.向量数量积运算满足：运算规律： 向量数量积的坐标表示法：设，由数量积可得：例1、证明三角形的余弦定理例2、设，求及解：例3、设且，并有，问是否有.解：取，则，但。例4、设，向量与共线，且，求向量的坐标.解：设，二、向量的向量积设为杠杆的支店, 力作用在杠杆点，力与的夹角为，求力矩.由力学规定：力对点的力矩是一向量，其大小为方向垂直于与所确定的平面，指向按右手法则。定义：设、为向量，作向量使得：垂直于所确定的平面，指向按右手法则则称向量为向量与的向量积，记为或叫做叉乘、外积。由向量积定义可得：运算规律： 向量积的坐标表示法：单位坐标向量的叉乘:，设，例1、设向量与、和所在的平面垂直,求，并求以、和为顶点的三角形的面积。例2、设，已知向量垂直于和且，求。复习向量的运算与向量的性质设，向量点乘：坐标表示法：向量叉乘：与的向量积： 大小：方向：同时垂直于与所确定的平面，且满足右手法则.向量平行与垂直的充要条件：三、向量的混合积与点乘再与叉乘称为三向量、的混合积，记为。混合积的计算公式：设 。则向量混合积的性质：4平面及其方程一、平面的点法式方程平面是曲面点特例，平面看作具有这样特征的动点的几何轨迹：动点与一定点所成的向量垂直于一已知的非零向量平面由一定点和一非零向量所确定，与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量设一平面过定点且垂直于非零向量，求平面方程。例1、已知平面过点且垂直于与的连线，求其方程。例2、已知平面过三点，求其方程。二、平面的一般式方程根据平面的点法式方程：得：()即平面为三元一次方程.反之，三元一次方程是否表示曲面？设有三元一次方程，其中不全为零，不妨设，则三元方程可化为：与点法式方程比较，这是过点，且垂直于向量的平面方程。定理：任何三元一次方程(不全为零)都步骤一个平面，且此平面的一个法向量为。三元一次方程称为平面的一般式方程。例3、设平面过三点，求其方程。平面的一般式方程中系数与平面的位置关系：1、，方程为，平面过点2、方程的系数中有一个为1、 方程的系数中有两个为例4、求通过轴及点的平面方程。三、平面的截距式方程方程：，三元一次方程表示平面，这个平面过点，平面方程称为截距式方程，分别为平面在轴上的截距。四、两平面的位置关系设平面：规定，的法向量，的夹角(锐角)为与的夹角，则由向量夹角概念得：由此可得平面之间的平行与垂直的条件：例5、平面过点和且垂直于平面，求其方程。建立平面方程：1、定点和非零向量；2、一般式方程五、点到平面的距离已知平面：及平面外的点，求点到平面的距离。例6、求点到的距离。5空间直线及其方程一、空间直线的一般式方程空间直线看作两平面的交线设平面：则叫做(，交线)空间直线的一般式方程。空间直线表示法不唯一。一、空间直线的一般式方程空间直线看作动点的轨迹，动点与一定点的连线所成的向量平行于非零向量，空间直线由一定点和非零向量完全确定，非零向量叫做直线的方向向量。设直线过点且平行于向量，由动点与所成的向量与平行，所以这就是直线的方程，称为点向式方程或称为对称式方程。若直线过两点和，其方程为：直线的方向向量的方向角为，则为的方向余弦，也叫做直线的方向数。例、设直线过点且平行于向量，求其方程。三、直线的参数式方程直线过，且平行于非零向量，则动点与所成的向量为，由向量平行的充要条件知：，由是上的任意一点，故，从而得：()上述方程称为直线的参数式方程。直线的一般式方程、对称式方程、参数式方程可以互化。例、把直线化为对称式方程和参数式方程。四、两直线的位置关系规定两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角。设直线：直线： 则直线的方向向量的夹角余弦为于是直线、的夹角余弦为由此可得直线与平行与垂直的条件：例、求：与：的夹角。例、已知直线过点且平行于直线，求其方程。例、已知直线过点且同时垂直于直线：及：，求其方程。五、直线与平面的位置关系设直线与平面不平行，在平面上的投影直线为则与的夹角称为与的夹角。设：与的夹角与之间的关系：，从而得到直线与平面的位置关系：例、设直线过点且垂直于平面，求直线方程。例、求过点且与直线垂直的平面方程。六、直线与平面问题的例题1、 两直线共面设直线：直线：与共面、共面。2、 直线与平面的交点设：若与不平行，则一定有交点。求交点的方法：把改写为参数方程，再代入平面方程，求出参数即得交点坐标。例、求直线与平面的交点。3、 点到直线的距离设：，是直线外的一点，求到直线的距离。例、求点到直线的距离。4、 平面束方程，直线在平面上的投影过一条直线的平面有无穷多个，过该直线的平面的全体叫做平面束。设直线有两张不平行的平面、确定：则过与交线的全体平面叫做由和确定的平面束。可以证明这个平面束方程为：其中为参数，可取不同时为0的实数。例、求过点和直线的平面方程。例、求直线在平面上的投影直线的方程。5、 公垂线、两直线间的距离例、设：，：，求与的公垂线方程及两直线间的距离。例1、过直线：且平行于直线的平面方程。(：)例2、过轴且与平面：夹角为的平面方程。(：，)例3、求平行于平面：且与三坐标面围成的四面体的体积为1的平面方程。(：)例4、求过点且与直线：垂直相交的直线方程。例5、求过点且平行于平面：又与直线：相交的直线方程。例6、已知直线在xOz面上的投影，在yOz面上的投影，求直线在xOy面上的投影。例7、求以为准线，母线平行于轴的柱面方程。1、 求垂直于平面且通过它与xOy平面的交线的平面方程。（）2、 求通过直线而平行直线的平面方程。（）3、通过平面和直线的交点，求在已知平面上垂直于已知直线的直线方程。（）4、求原点关于平面对称点的坐标。（）5、求通过曲线，而母线垂直于xOy平面的柱面方程。（）6、求由曲面与围成立体在xOy平面上的投影区域。（）7、求由曲线绕y轴旋转一周而成的旋转曲面方程。（抛物面）6曲面及其方程一、曲面方程的概念设空间曲面和三元方程满足：1)曲面上的点的坐标都满足方程2)不在曲面上的点的坐标不满足方程则称为曲面的方程，而曲面叫做方程的图形。例1、设动点与定点和等距，求轨迹方程。例2、设动点与定点相距，求轨迹方程。空间解析几何中，作为点的几何轨迹的曲面可以用点坐标间的方程来表示.反之,变量间的方程通常表示一个曲面，因此在空间解析几何中关于曲面的研究有以下两个基本问题：1、一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；2、 已知坐标之间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状.作为这两个问题的具体例子，下面讨论旋转曲面和柱面.二、曲线的一般式方程空间曲线看作两曲面的交线。设空间曲面、的方程分别为、，则曲线方程为：这是因为在曲线上的点同在这两张曲面上，点的坐标同时满足和的方程，即满足方程组。反之，不在曲线上的点不会同在两张曲面上，即不会同时满足和的方程，也就不会满足方程组。上述方程组叫做曲线的一般式方程。例1、方程组表示怎样的曲线。例2、方程组表示什么曲线。例3、方程组表示怎样的曲线。三、空间曲线的参数与平面曲线类似，空间曲线也可用参数方程来表示：设有参数方程当时，得，于是得到空间上的一点，当随变动，便可得到曲线上的全部点。上述方程称为曲线的参数方程。例4、设一动点在圆柱面上以角速度绕轴作旋转，又以线速度沿平行轴正方上升(、为常数)，求动点的轨迹方程。例5、曲线用参数方程表示。四、空间曲线在平面上的投影设空间曲线的一般式方程为：若一柱面的母线与该曲线都相交，且与一定陪你垂直，则此柱面叫做曲线在定平面的投影柱面。若取定平面为坐标面，下面讨论曲线在坐标面上投影，并求出投影柱面。设空间曲线的方程为：方程组消去得：曲线在方程的柱面上。表示母线平行轴的柱面，这个柱面又包含曲线，所以这个柱面包含了投影柱面，方程组包含曲线在面上的投影曲线同理可求得曲线在另两坐标面的投影柱面和投影曲线。例、求曲面与的交线在面上的投影方程。五、空间区域在坐标面上的投影以后多元函数积分经常要考虑区域在坐标面的投影例、求由曲面与所围的锥体在面上的投影。7二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面，相应地平面叫做一次曲面