《线性微分方程》PPT课件.pptVIP

9 4线性微分方程 1 二阶线性微分方程解的结构 证明 是方程 2 的解 问题 若y1 x 与y2 x 成线性关系 即存在常数L R使 则 说明 由于 在任意区间上都是线性无关 由于 在任一区间上都是线性相关的 说明 a 求出 2 的两个线性无关的特解y1 x y2 x b 写出通解 例 解 是方程的一个解 设是方程的解 其中u x 是待定函数 由于只需取一个解 故取c1 1 于是有 再积分得 下面讨论非齐次方程 1 的解的结构 证明 将函数代入方程 2 有 是非齐次方程 1 的一个任意取定的特解 从而有 3 写出非齐次方程的通解 例 解 是其对应齐次方程的解 根据非齐次方程解的结构定理知 是非齐次方程的通解 性质4 非齐次方程解的叠加原理 2 二阶线性常系数微分方程 1 二阶线性常系数齐次方程的求解 下面考虑求 8 的两个线性无关的特解 设方程 8 有形式的解 代入方程 8 有 即 方程 9 称为齐次方程 8 的特征方程 a 如果特征方程 9 有两个不同的实根 设是特征方程 9 的根 则 是线性无关解 所以方程 8 的通解 b 如果特征方程 9 有两个不同的复根 设两个复根 则有解 并且y1 y2是 8 的实函数解 同时是线性无关的 所以方程 8 的通解 c 如果特征方程 9 有相等的实根 此时根 则 代入方程有 积分得 所以方程 8 的通解 计算齐次方程 8 的通解的方法 设齐次方程为 1 写出特征方程 2 根据特征方程的情况写出方程的通解 a 有两个不同的实根 通解 c 有两个相等的实根 通解 解 特征方程 解 特征方程 特征根 所以方程的通解 解 特征根 所以方程的通解 特征方程 由 由 解 当浮体下浮位移s时 由牛顿第二定律得 由于平衡时 所以有 即 二阶线性齐次方程 方程的通解 此时的运动周期 现由T 2 所以有 2 二阶线性常系数非齐次方程的求解 下面介绍用待定系数法求方程 10 的特解的方法 代入方程有 整理得 11 取 其中为待定系数 11 代入 11 式确定使 是方程 10 的解 不是特征根情形的特解形式 此时 为使 11 式的左边为一n次多项式 是单根情形的特解形式 可取 3 如果 是特征方程的二重根 则 此时 为使 11 式的左边为一n次多项式 是方程 10 的解 是二重根情形的特解形式 代入 11 式确定系数使 可取 综合以上结论知 0 不是特征根 1 是单根 2 是二重根 解 特征方程 所以齐次方程的通解 先求齐次方程的通解 再求非齐次方程的一个特解 由 是特征方程的二重根 故可设非齐次方程的特解为 代入方程整理得 解得 所以求得方程的一特解 由此求得原方程的通解 解 原方程可表示为 将方程两边对x求导有 再将方程两边对x求导有 即 故知所求函数f x 满足以下初值问题 特征方程 特征根 所以齐次方程通解 所以特解 于是原方程的通解 由 故所求函数为 b 其中Pn x Pl x 分别为n次和l次多项式 对于方程 12 可设其特解为 0 i 不是特征方程的根 1 i 是特征方程的单根 解 特征方程 特征根 所以齐次方程的通解 先求齐次方程的通解 再求非齐次方程的一个特解 由于 i 2 i不是特征根 故设特解 此时 代入原方程并整理得 解得a 1 b 2 所以原方程的特解 原方程的通解 注意 不可设特解为 而应设为 解 所以齐次方程的通解 下面考虑求非齐次方程的特解 将原方程分解为 13 14 注意到若是 13 的特解 是 14 的特解 而 13 属于 a 的情形 14 属于 b 的情形 设方程 13 的特解为 将代入 13 整理得 再求方程 14 的特解 由于不是特征根 故可设特解 将代入 14 整理可得 解得 原方程的特解 所以原方程的通解 解 建立坐标系如图所示 A点受到的力 1 干扰力 psin t 2 弹性恢复力 ky 据牛顿第二定律有 初始条件 特征方程 特征根 齐次方程的通解 被称为固有频率 下面求非齐次方程的特解 代入方程整理得 非齐次方程的特解 非齐次方程的通解 由 所以初值问题的解 2 当时 设非齐次方程的特解为 代入方程可得 非齐次方程的通解 由可确定 所以初值问题的解 注意 位移y t 的振幅为 将随t的增大而无限增大 从而引起共振现象 当时 3 n阶线性常系数微分方程 与二阶线性方程类似 非齐次方程 15 的通解为 则齐次方程 16 的通解为 为求齐次方程 16 的n个线性无关解 求出特征方程的根 并写出对应的解 则确定其对应的两个解为 3 若 是 17 的单重共轭复根 4 若 是 17 的k重共轭复根 则确定其对应的2k个解为 解 特征方程 特征根 即 所以方程的通解 4 欧拉 Euler 方程 为n阶欧拉方程 其中为常数 二阶欧拉方程 18 的求解 令 则t lnx 代入方程 18 有 这是一二阶线性常系数微分方程 解 这是一二阶欧拉方程 令 则t lnx