1.多元函数(重修2011).ppt

7 1多元函数的概念 7 2偏导数与全微分 7 3多元复合函数求导法 7 4隐函数求导法 7 5多元函数微分学的几何应用 7 6方向导数与梯度 7 7多元函数的极值及其求法 第7章多元函数微分学及其应用 1 邻域 7 1 1平面点集的有关概念 7 1多元函数的概念 2 n维空间 1 n维空间的记号为 注 2 n维空间中两点间距离公式 注 n维空间中邻域概念 特殊地当n 1 2 3时 便为数轴 平面 空间两点间的距离 邻域 设两点为 类似地可定义三元及三元以上函数 定义7 1 1设D是平面上的一个点集 则称映射f D R为定义在D上的二元函数 7 1 2多元函数的概念 1 二元函数的定义 二元函数的图形通常是一张曲面 2 二元函数z f x y 的图形 7 1 3多元函数的极限 定义7 1 2 1 定义 注 1 定义中P P0的方式是任意的 2 二元函数的极限也叫二重极限 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 4 二元以上的函数的极限可类似地定义 2 二元函数极限问题举例 例1求极限 解 其中 例2证明 分析 要证明二重极限不存在 可使P选择不同的路径而趋于P0 如有不同的极限 则二重极限不存在 证明 令P沿直线y kx而趋于点P0 0 0 则有 显然 此极限值随k的变化而变化 所以二重极限 例2 解 当P沿直线y kx而趋于 0 0 点时 当P沿曲线y kx2而趋于 0 0 时 它是与k的取值有关的 所以二重极限 确定极限不存在的方法 定义7 1 3 注 1 间断点的判别与一元函数类似 2 多元函数不仅有间断点而且有间断线 1 多元函数连续性的定义 7 1 4多元函数的连续性 3 多元连续函数具有一元连续函数相同的性质 例3讨论函数 在 0 0 处的连续性 解 取 故函数在 0 0 处连续 例4讨论函数 在 0 0 的连续性 解 取 其值随k的不同而变化 极限不存在 故函数在 0 0 处不连续 2 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数 如果在D上取得两个不同的函数值 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次 1 最大值和最小值定理 2 介值定理 多元初等函数 由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 3 多元初等函数的连续性 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 例5 解 7 2偏导数与全微分 7 2 1偏导数的概念 7 2 2偏导数的几何意义 7 2 3高阶偏导数 7 2 4全微分 7 2 1偏导数的概念 1 偏导数的定义 1 f x y 在点P0 x0 y0 处的偏导数 例如 极限 1 可以表示为 2 偏导函数 3 偏导数概念可推广到二元以上的函数 注 解 2 偏导数的计算 仍然是一元函数的求导公式和求导法则 对某一个自变量求偏导时 其余的自变量看作常量 证明 原结论成立 例3 解 例4 解 注 1 求fx x0 y0 时 可先将y0代入得 最后再将x0代入 例5 解 注 2 求分界点 不连续点处的偏导数要用定义求 按定义可知 3 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续 偏导数存在连续 一元函数中在某点可导连续 多元函数中在某点偏导数存在连续 7 2 2偏导数的几何意义 如图 几何意义 纯偏导 混合偏导 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 7 2 3高阶偏导数 解 例6 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等 解 问题 混合偏导数都相等吗 证毕 例8证明函数 其中 满足方程 证明 由于函数关于自变量的对称性 所以 因此 证毕 7 2 4全微分 1 增量 全增量及偏微分 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 叫做函数在点 x y 对应于自变量增量 x y的全增量 z f x x y y f x y 1 2 全微分的定义 事实上 3 可微的必要条件 4 偏导存在不是函数可微的充分条件 一元函数可微等价于可导 f x y 在点P0处偏导存在 但f x y 在点P0处不连续 所以f x y 在点P0处一定不可微 而多元函数偏导存在不能推出可微 5 函数可微的充分条件 习惯上 记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 方法 6 全微分的计算 2 dz fx x y dx fy x y dy iii P0 x0 y0 处且dx dy给定时的微分 1 先求fx x y fy x y 判断f x y 的可微性 利用充分条件 几类微分 i P x y 处的微分 ii P0 x0 y0 处的微分 例1 1 计算z x2y y3的全微分 2 计算z x2y y